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1、年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一.已知可导函数满足,则f(x)解：在方程两边求导得f'(x)coxsf+x()sxi,nf'(x)+f(x)tanxsecx.tanxdxsecxetanxdx从而f(x)edxc=elncxos1elxncosc=cosx1dxccosxdxcos2x=coxstaxnc=sxinccxos由于f(0)1，故f(x)sinxcosx。．求limsin2n2nn解由于sin2n2nsin2n2nnsin2n1。n2nn.设wf(u,v)具有二阶连续偏导数，且u=xcy，v=x+c
2、y，其中c为非零常数。则w1wyy。xxc2解:wxf1+f2，wxxf112f12f22，wyc(f2f1)，wyycf2f1ccf11cf12cf21cf22=c2f112f12f22。y所以wxx1wyy=4f12。c2.设f(x)有二阶导数连续，且f(0)f'(0)0,f"(0)6，则limf(sin2x)4x0x1/5解：f(x)f(0)f'(0)x1f"()x2，所以f(sin2x)1f"()sin4x。22f(sin2x)f"()sin4x3。这样lim4=lim4x0xx02x不定积分Iesinxsin22xdx
3、.(1sinx)解:由于Iesinxsinxcosxdxsinxvvevdv2(v11e)vdv2(1sinx)22v)2(12(1v)2evdv2evdv2evdv2evd1v1(v1)2v1v12evdv2ev11+evdv2ev+C=2esinx+C。v1vv1v11sinx.记曲面z2x2y2和z4x2y2围成空间区域为V，则三重积分zdxdydz.V解：使用球面坐标I=zdxdydz2/4d22sindd0cos00V。21sin2/402144202二（本题满分分)设二元函数f(x,y)在平面上有连续的二阶偏导
4、数.对任何角度，定义一元函数g(t)f(tcos,tsin).若对任何都有dg(0)0且d2g(0)0.证明f(0,0)是f(x,y)的极小值.dtdt2解：由于dg(0)fx,fycos0对一切成立，故(fx,fy)(0,0)(0,0),即sindt(0,0)(0,0)是f(x,y)的驻点.分2/5记Hf(x,y)fxxfxy，则fyxfyy2coscosdg(0)d(cos,sin0(fx,fy))Hf(0,0).dt2dtsin(0,0)sin分上式对任何单位向量(cos,sin)成立，故Hf(0,0)是一个正定阵,而f(
5、0,0)是f极小值.分三(本题满分分)设曲线为在x2y2z21，xz1，x0,y0,z0上从A(1,0,0)到B(0,0,1)的一段.求曲线积分Iydxzdyxdz解:记1为从B到A的直线段,则xt,y0,z1t,0t1，11ydxzdyxdztd(1t).分102设和1围成的平面区域，方向按右手法则.由公式得到dydzdzdxdxdyydxzdyxdzxyzdydzdzdxdxdy.1yzx分右边三个积分都是在各个坐标面上的投影面积，而在zx面上投影面积为零.故Idydzdxdy.1曲线在xy面上投影的方程为(x1/2)2y2
6、1.分(1/2)2(1/2)2又该投影（半个椭圆）的面积得知dxdy2.同理，dydz.4423/5这样就有I1分.222四(本题满分分)设函数f(x)0且在实轴上连续，若对任意实数t，有e
7、tx
8、f(x)dx1，a,b(ab)，bf(x)dxba2。a2证.由于a,b(ab)，有b
9、tx
10、
11、tx
12、。ef(x)dxe(f)xdx1abb
13、tx
14、f(x)dxba。因此dte分aa然而bbbb，dt
15、tx
16、(f)xdx(f)x
17、tx
18、aeaedtdxaa其中be
19、tx
20、dtxbexb.aetxdtextdt2eaxaxbaxxb就有
21、f(x)(2)dxb⋯⋯a()分eeabba1bxf(xdx)bx(dx).即f(x)dxeaexbfa22aa注意到bb，和b1。分axf(x)dxe
22、ax
23、f(x)dx1()xbdxaefxeaa把以上两个式子入()，即得。分五(本题满分分)设{an}为一个数列，p为固定的正整数。若limanpan，其中为常数，证明liman。nnnp证明：对于i0,1,,p1，记An(i)a(n1)pianpi。由题设limAn(i)，从而nlimA1(i)A2(i)An(i)。分nn而A1(i)A2(i)An(i)=a(n1)piapi
24、。由题设知lima(n1)pia(n1)pin。分=limn(n1)pinn(n1)pip4/5对正整m，设m=npi，其中0，1，,p1，从而可以把正整数依照i分为p个子列类。考虑任何这样的子列，下面极限lima(n1)pi，故limam。分n(n1)pipn
