[工学]5 相对关系

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1、直线与平面、平面与平面的相对位置3.1平行问题平行问题相交问题垂直问题综合问题分析平行问题直线与平面平行平面与平面平行直线与平面平行若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。PCDBA例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面XO例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。baaffbcededkkcXO平面与平面平行若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACBfededfcaacbbmnmnrrss结

2、论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHXO相交问题积聚性法辅助平面法交点与交线的性质直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF积聚性法当直线

3、为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM直线可见性的判别bbaaccmmnkn特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前XOa(b)cefdk例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。bacdekf（2）两平面相交fk求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHk

4、fFKNLnlmmlnbaccabXOfk过AB作平面P垂直于H投影面辅助平面法DECP12KBA12QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。feefbaacbckk以正垂面为辅助平面求线面交点2PH1作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOabbacdeedc12kk例7求直线AB与平面ΔCDE交点，并判断可见性。()abbaceedcd124（）kkXO33421利用求一般位置线面交点

5、的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法1、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbaddeffePVQV21kkll2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤12利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek34()3421()12XO两平面相交，判别可见性例8试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。acbacbfeefkkXO分析FPCABEKH过已知点K作平面P平行于ABC；直线EF与平面P交于H；连接

6、KH，KH即为所求。作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。PVRVa'c'f'm'n'b'd'e'g'acbdemn1'2'3'4'1234RV56785'6'7'8'OXMfgPVN三面共点法垂直问题直线与平面垂直平面与平面垂直若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。直线只要垂直于平面上任意两条相交直线，直线垂直该平面。直线与平面垂直：定理1：若一直线垂直于一

7、平面，则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO相互垂直的两条直线中，有一条直线平行于某一投影面，则此两直线在该投影面上的投影相互垂直，为直角投影定理。定理2（逆）：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影，则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXOacacnnmfdbdb