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《矩阵论的实际应用(朱月)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录姓名：朱月学号：20140702057t专业：机械工程类别：学术上课时间:2014年9月至2014年12月考生成绩:阅卷评语:阅卷教师（签名）相关变量的独立变换摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活屮或现代工程屮的各种问题已越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。正文一、问题描述在建立机械系统可靠性模型吋，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和
2、强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。二、方法简述设系统的基本变量为X（x,,x2,……,£）,各变量之间相关，则随机变量尤的/?维正态概率密度函数为⑴MX)=32
3、CxIexp「*(X-“x)‘C；(X-“x)»式中COV(JV],兀2)cov(x2,X,)COV(兀],兀3)•…cov(x2,兀3)…cov(xpxjcov(x2,xjcov(x/?,x})COV(兀，x2)COV(Xn，无3)•…称为随机变量X的协方
4、差矩阵。矩阵屮的任意元素covg,形）是变量无与变量勺的协方差，
5、Cxl是协方差矩阵的行列式，C；是协方差矩阵的逆矩阵，X,“x及（X-“x）是n维列向量X]fA.x=<■■■■>显然，当n=l时，有Cx=(y2[CX=(yC'1=[l/(r2]即变为以为正态分布的概率密度函数。_n_I£(AY+//x)=(2兀)珥人易…人)2xexp式(1)定义的n维止态概率密度函数，必然存在一个正交矩阵A,使对于n维随机变量Hy,%，…，儿)有1V21式中人入，…，入是矩阵Cx的特征值，A为正交矩阵，所以可以将相关的n维随机变量X(x1?
6、x2,……,x”)变换为独立的n维随机变量丫(必,力，……，儿)。具体过程如下：令y=atx式中A的列向量等于Cx的特征向量。Y的协方差矩阵为一对角矩阵「入0~CY=ArCxA=•.[o4_随机变量丫(卩,力，……，儿)的均值可以由下式求出E(Y)=AtE(X)三、具体应用举例如图1所示的减速器为一由电机驱动的单级直齿圆柱齿轮减速器。已知其传递功率P为随机变量并服从正态分布，P〜N(6.26,0.626)kW,小齿轮转速n!=970r传动比i=4.48,输出轴与联轴器相连。大齿轮材料45钢正火处理,齿面硬度为167〜217HBS；小齿
7、轮材料为45钢调质处理，齿面硬度为217〜255HBS。设计要求：在满足齿轮强度可靠度R大于等于0.99,轴的强度可靠度R大于等于0.999的条件下，传动系统可靠度最大。1・输入、输出轴强度的相关独立变换先考察两个相关随机变量45钢正火屈服极限xi和45钢调质屈服极限x2o其各值见表1,表2。表145钢调质屈服极限统计变量数值序号/N■mm-2/N■mm-2rrn(X-X)215251Z5156,252500-12.5156.253475-37.51406.254500-1X5156.255580C1*><67.54556.25656
8、047.52256.257525•12J156.258490-22.5506.259460-5X5砂Q10510-ZS6J5<••其均值矢量为E(X)=[E(x,),E(x2)]=(379.5,512.5)N•mm~2协方差矩阵为cov(x2,X,)cov(x1,x2)氏2_782.25-81.7681.761211.25由C-的协方差可知其特征方程为782.25-281.7681.761211.5—久=(782.25-A)(l211.25-Z)-81.762=0才一1993.52+941118.4=0解得两个根为人=767.85,人
9、=1225.6表245钢止火屈服极限统计变量数值序号IX/N-mm-2X/N■mm-2x-x(X-X)21
10、4305052325j0621330-49.524502$31400亠205420JS439515J240J5360379J-19.53W；61•39010.511025I400205420J5843800S0J5—1360-19J38O2S[350-29.5从而可得特征向量为V,=(0.9843-0」764)丁，匕=(0.1764,0.9843)^。因此止交矩阵A为「0.98430.17641A=L-0.17640.9843从
11、而有不相关的随机变量Y=(丿
12、,『2)为0.9843-0.1764-0」7640.9843_兀2_Y=AtX=其期望值分别为E(yJ=0.9843x379.5-0.1764x512.5=283.1N•mm'2E(y2)=
