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1、N元一次不定方程整数解章君（福建师范大学数学系福建福州350108）【摘要】不定方程是初等数论中的一个重要内容和课题，所谓不定方程就是指未知数的个数多于方程的个数，且其解的取值范围受到某些限制（如整数、正整数和有理数等）的方程（组）•目前不定方程在中学的各类数学竞赛中都占据着重要的地位，因此研究不定方程整数解的一般解法，在初等数论乃至中学奥林匹克竞赛中都是有及其重要的意义的.【关键词】不定方程初等数论奥林匹克数学竞赛在研究N元一次不定方程之前，首先我们从二元一次不定方程开始研究，这里,我们先从一
2、个古老的问题开始入手；★二元一次不定方程问题：一只箱子中有若干只蜜蜂和蜘蛛,它们共有46只脚，问其中蜜蜂和蜘蛛各有多少只？分析：显然这个问题就属于一个简单的二元一次不定方程的问题，在解决这个问题时,我们不妨设箱子中的蜜蜂和蜘蛛分别有x,y只；则依题意有：6x+8y=46;°显然这个方程有无数组实数解，但符合题意的只能取正整数解,因此，接下来就由。式可得：兀=耳二丸31O11应的x的值为兰,5,-33要求我们求解这个方程的正整数解了。72,故符合条件的解只有（2,5〉（5,1），由于x,y只能取正
3、整数，故y只能取1234,5对当然，上述的解法是直接对方程进行求解，但有时候我们发现很多方程用直接法其实是不能求解或者求解起来是十分麻烦的，因此，这就要求我们能不能找到一种通法,针对一般的N元一次方程都能求解，接下来，我们先从二元一次不定方程开始讨论其一般的整数解的解法，进而推广至N元一次不定方程的一般整数解解法.在讨论二元一次不定方程ax+by=c{其中是非零整数疋是整数)・—整数解的解法之前,我们必须要考虑对于一个给定的二元一次不定方程ax+by=c是否存在整数解的问题,为此,我们引入下面的
4、判定定理：【定理1】设d=gcd(c,b),则不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是d
5、c・证明：(必要性)若◎式有一组整数解，不妨设为x=x(),y=y(),则代入◎式得：ajc0+byQ=c,da且d
6、b,d
7、c；(充分性)若d
8、c，则必存在整数q,使得c=dq・◎又由于d=gcd(^z,h),/.35,reZ，使得as+bt=d，代入◎得：a(sq)+b(rq)=c；令兀o=sq,y0=fq,即得：cixQ+by0=c・(证毕)由以上的判定定理，我们已经知道了如何判定一个二元一次不定
9、方程是否存在整数解了.接下来,就讨论如何求得一个二元一次不定方程的全部整数解.为此我们也先给出一条定理：【定理2】若方程◎有整数解(心,y。)，则其全部解为[x=xh-b,t—亠<(r=0,±l,±2L)3其中，d=ged(a,b),a=a,d,b=b,d.证明：(必要性)将⑴式直接代入Q即可得出证明；(充分性)设(”,门为◎式的任一组解，则ax^by^c；・■■一◎又•・•(兀o，Vo)也为Q式的一组解/即QX()+by()=c；6.・.由C5-G6得:a(x,-xo)+Z?(/-yo)=O,
10、即坷(#_兀)=一勺(y_y°)；Q乂d=gcd(<7,b),・•・gcd(q,b])=l,・*.a}y-yQ，故3zgZ,st.y-yQ=a}t即y=即+y(),代入b得：x=x{}-h}t・(证毕)从上述二元一次不定方程求整数解的定理的证明过程，我们可以发现其关键在于证明方程ox+by=gcd(d,b)=d,由此引发我们对N元一次不定方程的求整数解过程的思考,接下来,我们将借鉴二元一次不定方程求整数解定理，推广至N元一次不定方程全部整数解的求解通法★N元一次不定方程对于N元一次不定方程a}
11、x}+a2x2+•••+anxn=A(其中q•为非零整数,ceZ》・・・◎仿照二元一次不定方程，我们首先也来探究对于N元一次不定方程有整数解的判定条件,通过探究发现如下定理：【定理3】N元一次不定方程G內+°2兀2+…+色E=A(其中4为非零整数，CGZ)有整数解的充要条件是:gcd(apa2,Lan)A.(注：其证明方法与二元一次不定方程的判定定理类似，现给出证明如下；)证明：(必要性)若◎式有一组整数解,不妨设为x/),则代入①式得:a{x[+a2x2+L+anxn=A,•/da.,(z
12、=1,2Ln)；/.dA；(充分性)若d
13、A，则必存在整数q,使得A=dcx.③又由于d=gcd(a}4，Lan),/.3r),r2,LtneZ,使得硝+^2r2+Lantn=d,代入③得：G](f
14、C
15、)+d2(qf2)+Lan(cltn)=dcl=A；令X=g,(i=l,2,Ln),即得:4-a2x24-•••+anxn=A.(iiE毕)从以上的判定定理中受到启发：关键也是在于考虑方程d內+色兀2+…+色£=〃的求解办法，因此在求N元一次不定方程所有整数解时，如果可以将原方程转化为g+兮2
