数论论文-二元一次不定方程

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1、二元一次不定方程数学计算机科学学院摘要:不定方程在历史上有极其丰富的研究,文献极其丰富 ，也留下很多经典难题,主要研究二元一次不定方程有整数解的条件,以及利用辗转相除法求出它的一切整数解.关键词:辗转相除法;整数解;最大公约数引言未知数个数多于方程个数,且对解有一定限制(比如要求解为正整数等)的方程.数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解.②有解时决定解的个数.③求出所有的解.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张

2、丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究.秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.百鸡问题说：“鸡翁一,直钱五,鸡母一,直钱三,鸡雏三,直钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、母、雏各几何?”.设x,y,z分别表鸡翁、母、雏的个数,则此问题即为不定方程组的非负整数解x,y,z,这是一个三元不定方程组问题.1预备知识定理1设二元一次不定方程ax+by=c(1)(其中a,b,c是整数且a,b都不是0),有一整数解x=x,y=y;又设(a,b)=d,a=ad,b=b,则(1)的一切解可以表成x=x-bt,y=y+at,(2)其中t=0,1,2,……证x,y是(1)

3、的解,当然满足ax+by=c.因此a(x-bt)+b(y+at)=c+(ba-ab)t=c.这表明对任何整数t(2)都是(1)的解.设x,y是(1)的任一解,则ax+by=c，减去ax+by=c,即得a(x-x)+b(y-y)=0.由上式及a=ad,b=bd得到a(x-x)+b(y-y)=0.又d=(a,b),故(a,b)=1.有一整数t使得y-y=at,即y=y+at.将y代入上式即得x=x-bt.因此x,y可表成(2)的形状.故(2)表示(1)的一切整数解.证毕2利用辗转相除法求二元一次方程的解例1求7x+4y=100的一切整数解.解解方程7x+4y=1,此处a=7

4、,b=4,(a,b)=1.7=41+34=31+13=31因此7x+4y=1的一个解是x=(-1)1=-1,y=(-1)2=2.故原方程的一个解是x=-100,y=200.由定理1可知其一切解可以表成X=-4t-100,y=7t+200(t=0,1,2,……)定理2二元一次不定方程ax+by=c,a>b>0,(a,b)=1的一切整数解可由x=x,y=q-qx+y,得出。其中a=bq+r,0≤r

5、是整数，所以也是整数.令=y，则x=x，y=y是by+rx=r的一个整数解，即ax+by=c的任一整数解能写成下列形状:x=x,y=q-qx+y,其中x，y是by+rx=r的某一整数解,反之,若x,y是by+rx=r的任一正整数解,则由x=x,y=q-qx+y所求得的x，y是ax+by=c的一解.例2求107x+37y=25的一切整数解.解由给定的方程得y==-2x+=-2x+y,其中y=应该是整数，故得一新的不定方程37y+33x=25（1）又x==-y+=-y+x,仿上令x=，又得一新的不定方程：33x+4y=25（2）又y==6-8x+=6-8x+y，其中y=，即

6、最后算得x+4y=1（3）显然（3）的一切解是x=1-4t，y=t(t=0,1,2,……).因此（2）的一切解是x=1-4t，y=6-8x+y=-2+33t(t=0,1,2,……).而（1）的一切解是y=-2+33t，x=-y+x=3-37t(t=0,1,2,……).故给定方程的所有解是x=3-37t，y=2x+y=-8+107t(t=0,1,2,……).结论利用辗转相除法求方程解的本质即现找出其一个特解,再由定理1得出其所有的解.而由定理2求解二元一次方程则是经过一系列对方程的变形从而得到方程的解.参考文献(1)潘承洞,潘承彪.初等数论.北京大学出版社,2001年7月

7、(2)于秀源.初等数论.山东教育出版社.2004年1月