信号与线性系统题解第四章

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1、第四章习题答案收集自网络4.1由于复指数函数是LTI系统的特征函数，因此傅里叶分析法在连续时间LTI系统分析中貝有重要价值。在正文己经指出：尽管某些ETI系统可能有另外的特征函数，但复指数函数是唯一能够成为一切LTI系统特征函数的信号。在本题中，我们将验证这一结论。••••(a)对单位冲激响应/?(/)=5(f)的LT1系统，指;I淇特征函数，并确定相应的特征值。(b)如果一个LTI系统的单位冲激响应为h⑴=找出一个信号，该信号不具有才的形式，但却是该系统的特征两数，且特征值为lo再找岀另外两个特征*1数,它们的特征值分别为1/2和2,但不是复指数函数。提

2、示：可以找出满足这些要求的冲激串。(C)如果一个稳定的ETI系统的冲激响应方(r)是实、偶函数，证明cosQr和sind实该系统的特征函数。(d)对冲激响应为h(t)=u(t)的LTI系统，假如0⑴是它的特征函数，其特征值为2,确定0⑴应满足的微分方程，并解出0(。。此题各部分的结果就验证了正文中指出的结论。解：(a)・・・h(f)=5⑴的LTI系统是恒等系统，所以任何函数都是它的特征函数，其特征值为lo(b)vh(t)=8(t-T),x(t)x(t-T)o如果无(/)是系统的特征函数,且特征值为01,则应有x(t)=x(t-T)0满足这一要求的冲激序列为

3、刃)=工5(—切)。若要找出特征值为1/2或2的这种特征函数，则可得：00[*x(t)=工(-)5(/—kT)，特征值为1/2。&=Y>200%(/)=工2乍(f一府)，特征值为2。A:=-oo(c)cosd=—(严+£“")y(t)=h(t)*%(/)=-ejQt2£h(r)e-iQrdT+^e-jQr£h{r)ejQrdT・・・力(/)为实、偶函数••・rh(T)ejilTdT=rh(Ce「j*dTJ-COJ-8y(r)=

4、(^^+^h)£A(rK；nrJr=cosQ/H(jG)同理可证sinOr。・•.y(r)=y(f)=0(f)、y(J=20⑴t于

5、是0(r)=c戻4.2求下列信号的傅里叶级数表示式。(a)x(t)=cos4f+cos6t(b)x(f)是以2为周期的信号,(c)x(t)ill图P4.2(a)所示。(d)E)如图P4・2(b)所示。(e)兀⑴如图P4.2(c)所示。(f)兀(r)如图P4・2(d)所示。x(0-5-4,n1A(012.nL1-七i0[

6、345(b)严)/馳)b”■5円—8—6—4~20246810=一6—4—201246810(a)(d)图P4.2解：(a)cos4r+sin6r=-^+尹+亍1—不用，取何=2,则苗2j£2ak=0伙工±2,±3)(b)T=2,co。=兀

7、、则纨冷“"妇占［严-严(-1)"2(1+jk肋(e--)心：msr(c)T=2,vx(t)是奇前数,a0=0T=6,5=龙/3,可求得te如

8、+丄厂枷Fjk兀+y上丄严牛旦(5)K7T(d)r1_呻」1e3dt——L26:'1-从牛p-2.k7i.k兀3I9+e3l；=sin——sin—■22jk兀11ak=-*61-j©=e32jk兀2-ik-te3dt(e)sin—jk兀2(各jAx(t)=-x(-r)?.a()=0;x[t)=>ake3R=-

9、5+t-jk-i1-COS/cTTfjk兀3兔蔦；「4.3已知某LTI系统的单位冲激响应为(f)T=4、o)q=ti12,可求得心何％+挣=—丄「峙飞-峙'&寻-0和+e气—2),(20)2JK7T2K7T1(71、、171T岭/右十牛色=才》(才切€；兀(『)=乂兔€_h(t)=e"4zw(r)对下列输入信号，求输岀响应y（f）的傅里叶级数表示式。(a)x(t)=cos27rt00(b)x(t)=工5(t-n)co（0）班/）二》（—i）”sa—町;?=—co（d）兀⑴如图P4.3所示。图P4.3CO解：设y（t）=工“严,则俵=务H伙®）；其中ak、

10、bk分别是兀⑴和），（/）的傅里叶级数R=-co系数。(a)x(0=cos2兀匚a)o=2兀；a}=斗其余廿014(2+b'}=b]=4(2-归)'具余仇=08(b)x(t)—S{t—n)；T=1,q()=2”；.•.兔=1,R=O,±1,±2,/l=—oob严石丽E，±l，±2,8(c)x(f)=Y(-l)"5(f-n);T=2,690=7l”=-<30k偶£奇fo，好禺4+jk7i'(d)由图P4.3所示x(r)町得：T=l,co{}=2兀,1rS=-,bk=

11、偶函数，即x(/)=x(-r),则其三角函数形式的傅里叶级数表示式