信号与线性系统

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1、第2章连续系统的时域分析2.1线性连续系统的描述及其响应2.2奇异函数2.3冲激响应和阶跃响应2.4卷积积分2.1线性连续系统的描述及其响应2.1.1系统的描述描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程。对于电系统，列写数学模型的基本依据有如下两方面。1.元件约束VAR在电流、电压取关联参考方向条件下：(1)电阻R，uR(t)=R·iR(t)；(2)电感L，(3)电容C，(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。2.结构约束KCL与KVL下面举例说明。例2―1图2.1所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压

2、u1(t)为输出响应变量的方程式。图2.1例2―1图解由KVL，列出电压方程对上式求导，考虑到（2-1）根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))(2―2)整理上式后，可得(2―3)例2―2图2.2所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。解解此联立方程，最后求得(2―4)(2―5)(2―6)图2.2例2―2图从上面两例可得到两点结论：(1)解得的数学模型，即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数(即独立动态元件的个数)是一致的。(2)输出响应无论是iL(t

3、)、u1(t)，或是uC(t)、i1(t)，还是其它别的变量，它们的齐次方程都相同。这表明，同一系统当它的元件参数确定不变时，它的自由频率是唯一的。2.1.2微分方程的经典解我们将上面两个例子推广到一般，如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程，它可写为y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)(2―7)式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-

4、1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解，用yh(t)表示。非齐次方程的特解用yp(t)表示。即有y(t)=yh(t)+yp(t)(2―8)1.齐次解齐次解满足齐次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0(2―9)由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=0(2―10)(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ

5、，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解(2―11)(2―12)(3)特征根有一对单复根。即λ1,　2=a±jb，则微分方程的齐次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(2―13)(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解(2―14)例2―3求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。解由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t例2―4求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=

6、f(t)的齐次解。解由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2te-t例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数λ1,2=±j，因此，该方程的齐次解yh(t)=c1cost+c2sint2.特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。表2―1激励函数及所对应的解例2―6若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y″

7、(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。解查表2―1，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解将特解yp(t)代入微分方程，有3.完全解根据式(2―8)，完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为(2―15)当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根时，方程的全解为(2―16)如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为式(2―15)，将给定的初始条件分别代入到式(