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1、摘要：木文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。1.零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系一x=
2、Ax^Bu线性定常系统状态方程『七+加宀(0)’八0的解为x(t)=eAfx0+JeA{l~r}Bu(T)dr.t>0。为了研究线性泄常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之I'可的关系，将x=Ax系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即{°,x(O)=xo,r>0的解为[y=Cxx(t)=eAfx0o所有的零输入状态响应组成了一个线性空I'可，且该线性空I'可屮有n个独立的元素,它们的线性组合决定了所有零输入响应。所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。下而先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。若九儿，…人是A的两两互异的特征值，且
3、片宀，••必是相应的单位特征向量，即Av.=i=o选兀0=片丿=12则x(t)—eAtx0—eAtv.=(/+Az+—A2/2+—A3t3+・・・)％2!3!1=v+Av.t+——A2v.t2++…，，2!13!1=岭+&•叩+£&•'#+£人5”+…=所以取兀o=0片+吋2+・・・+0必时，相应的零输入响应为x(t)=a1eAltv1+a2e^fv2+…+ocne^vn由此可以看岀线性定常系统的零输入响应解集的儿何结构可以由系统矩阵A的特征值和特征向量来表征。即其解集由vI?v2?...vz,构成的n维坐标空间的线性组合。上述结论的Matlab仿真程序和结果如下:系统
4、的状态方程为
5、"一0—2丿(°丿取初始状态x(0)=a1*V1+a2*V2,其y=(23)x打开MATLAB编辑器，编写如下程序，clearall;closeall;clc;A=[-l0;2-2];B=[l;0];C=[23];D=[0];%设定系统的状态方程参数sys=ss(A,B，C,D);[b,a]=ss2tf(A,B,C,D);%状态方程转换成传递函数alpha=input(*inputalpha:');%输入alpha参数[14][V,D]=eig(A);%利用eig函数求系统的特征值D与特征向量Vt=0:0.01:5;u=zeros(l,length(t))
6、;%输入为零xO=alpha(l)*V(:,l)+alpha(2)*V(:,2);%设定初始状态subplot(211);[y,t,x]=lsim(sys,u,t,xO);t=0:0.01:5;plot(t,x);%绘制系统的零输入响应xlabef时间t’titlcC原系统的零输入响应状态')；gridon;%绘制以特征值对应的特征向量为基底的零输入响应的状态xz=alpha(l)*V(:,1)*exp(D(1)*t)+alpha(2)*V(:,2)*exp(D(4)*t);subplot(212);plot(t,xz);xlabclC时间f);titlcC以特征值对应
7、的特征向量为基底的零输入响应的状态')；gridon;输出结果如下图：由图可知，当系统的初始状态为系统特征值对应的特征向量的线性组合时，系统的零输入响应也是相应特征向量的对应线性组合。即当x(O)=oti*V]+a2*V2时，eAt*x(0)=a1*eXI*t*V1+a2*eX2*t*V2o2特征值、特征向量与系统特征之间的关系2.1系统能控性与系统特征值和特征向量之间的关系2.1.1能控性的定义状态空I'可中的任意两点Xo，Xi即X(to)=Xo，X(tj)=Xi，若存在控制信号u(t)能将状态x(t)从to时刻的Xo在［to.切中驱动到XI，则系统能控。2.1.2能
8、控性判据对于系统x(Z)=Ax(t)+Bu(t),其响应为X(r)=%「eA{t'h'T}Bu(T)dTJ%⑴Wc矩阵为非奇异矩阵o系统能控在ti时刻，X,=eA(/,_/o)-xo+「eA(，i~，0~T)Bu(T)dT,设计控制器伉⑺=肝/Vo,则西=严-心•兀+f严假设也=y)血r(>若能保证Wc为非奇异矩阵，则能保证系统的能控性。这一命题的逆命题也成立,证明过程略。(2)矩阵C=［BABA2B...AN1B］满秩O系统能控(3)PHB判据:矩阵［A-XIB］满秩O系统能控(4)AP+PAt=-BBt有唯一正定解O系统能控(5)矩阵
