王智logisticequation的feigenhaum分岔图研究实验报告

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1、LogisticEquation的feigenhaum分岔图研究脑所201121430048王智实验目的:由LogisticEquation做出Feigenhaum分岔图，并通过分岔图研究该方程的特性。实验内容：1、用计算机实现分叉图；2、计算Feigenham^number；3、进一步找到周期3的R值；4、研究自相似性。实验原理：1.非线性有限差分方程(LogisticEquation):(1)兀+1=Rxt(1-xJ其中R为系统的参数，方程初始条件为兀。；固定点(fixedpoint)：满足X：=&；(1一X；)的点，可解得:(2)2.分岔图的基木特性(1)系统

2、参数(R)的不同给系统带來的影响初始条件兀。取值满足0<%0<1,随着R值的增加，系统分别表现出稳定，周期，混沌等不同的行为。1)当OvRvl时，系统只有一个稳定的点(零点)；2)当1

3、，在部分R值呈现出周期3的状态；6）当R>4吋，轨线最终逃逸（escape）到无穷。⑵初始状态（x（））的不同对系统的影响1）系统处于周期等稳定状态时对初始值不敏感。2）系统处于混沌状态对初始值非常敏感。(3)feigenbaumumber利用分叉点的R值，计算相邻分岔点的间距之比，所得的极限值即为feigenbaum5snumber,计算公式为：(3)/?_RF,=lim~~=4.6692"TooR—R方法实现：实验平台：MATLAB1、计算机实现分叉图程序运行首先生成Logistic方程的Feigenhaum分岔图。横轴是参数R,取值范围是2.6—4,取样间

4、隔为le-4；纵轴是变量x,取值范围是0-1,方程迭代次数选择250o当R从2.6增加到4的时候，迭代Logistic方程,将迭代150次至迭代250次的x的取值在屏幕上输出最终得到Logistic方程的Feigenhaum分岔图。2、计算feigenbaum'snumber将每次迭代计算出的x值存入X矩阵，X矩阵为250行，代表程序迭代250次，14001列，代表14001个R值，因此该矩阵的每一列即代表了选取R为定值后方程的迭代过程。由于所选取的R值的精度有限，因此选择8周期分叉点与16周期分叉点近似计算feigenhaum^number。满足石+4一為〉0.0

5、001&旺+8-兀v0.000001的R值即认为是周期8对应的R值,考察迭代160次〜180次的x值（共21个x值），超过14个x值满足上述关系，程序则认定该R值满足周期8关系，根据该方法同样可以找出周期16对应的R值,进而计算得到feigenbaum'snumbero3、找到周期3对应的R值周期3满足关系為+3=旺，因此当满足

6、x/+3-xJ<0.001的R值即认为是周期3对应的R值，同样考察迭代160次~180次的x值(共21个x值)，超过14个x值满足上述关系，程序则认定该R值满足周期3关系。4、自相似性研究在得到Logistic方程的Feigenhaum分岔

7、图后，通过对X,Y坐标轴取值范圉的逐渐缩小，可以逐渐放大分岔图的局部，进而研究自相似性。实验结果呈现：1、系统参数(R)的不同给系统带来的影响初始值选择x=0.6,首先分别作出R=0.5,R=l.,4,R=2.&R=3.2,R=3.5,R=3.9时x随迭代次数增加而表现出的状态，横轴代表迭代次数t,纵轴代表x：1)R=0.5时,x逐渐趋于稳定值x=0；图1.»+1=0.5xz（l一Xt）2)R=1.4时，x逐渐趋于稳定值x=0.28；图2.»+]=1・4»(1—xf)3)R=2.8,x交替趋近于稳定值x=0.64图3.»+1=2・8»(1—旺)4)R=3.2时，x呈

8、现周期2,两个稳定值分别为x=0・8和x=0.52图4.»+i=3・2旺（1一Xf）5）R=3.5口寸,x呈现周期4,四个稳定值人致分别为x=0.88,x=0.82,x=0.51,x=0.39-1111110.9■♦♦♦♦♦♦♦0.81■0.7-一0.6-♦一0.5♦♦♦♦♦▲▼♦0.4■♦♦♦♦♦♦11111051015202530图5.»+1=3・5»（1—旺）6)R=3.9时，x呈现混沌状态图6.»+1=3.9兀（1一Xt）2、计算机实现分叉图R从2.6增加到4,,迭代Logistic方程，把对应的x取值在屏幕上输出作图，横轴代表R,纵轴代表x图7.Log