浅谈实数的完备性-信息与计算科学毕业论文

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1、彌曲A学LIAOCHENGUNIVERSITY本科毕业论文题目浅谈实数的完备性专业信息与计算科学作者姓名唐星星学号2013201334单位数学科学学院指导教师张冬梅2017年5月教务处编原创性声明本人郑重声明：现提交的学位论文是本入在导师指导下，独立进行研究取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料.对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明•本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名：日期：指导教师签名:日期:目录Abstract1・实数完备性定理在《数学分析》中所占

2、的地位22.实数集的完备性23.实数六个基本定理的描述和证明23.1闭区间套定23.2.确界的叙述33.3有限开覆盖5定理3（有限覆盖定理）6聚点的定义7定理4（聚点定理）73・5致密性定理83.6柯西收敛准则83.7单调有界定理94・实数循环定理的证明104・1确界定理=＞闭区间套定理104.2区间套定理=＞有限覆盖定理104.3有限覆盖定理3聚点定理114・4聚点定理n致密性定理114.5致密性定理n柯西收敛准则114.7单调有界=＞确界定理125.实数的完备性的发展状况126.实数完备性定理过程中的一些注示136・1关于实数完备性定理的循环证明过程136.2关于实数完备性定理的起点1

3、3参考文献16致谢17摘要本文主要是叙说实数的完备性定理和它的证明以及在数学上所占的地位，对今后数学发展起到怎么样的作用；实数完备性六个相互定理的证明.它们之间是相互等价的，即任取其屮两个定理，都可以相互证明.关键词:实数的完备性定理；等价性；循环证明；实数基本定理AbstractThisarticleisaboutthecompletenessoftherealnumbersonthetheoremanditsproofinmathematicsandthestatusof,howaremathematicsplayaroleinthefuture;provingtheoremsinre

4、alnumbercompletenessinsixmutual•Theyareequivalenttoeachother,thatis,anytwotheorems,canbeproved-Keywords：Realcompletenesstheoremequivalence;cycleproofrealfundamentaltheorem数学分析的基础是实数理论。对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性，拥有这两种属性，才可以对于极限，连续，微分和枳分展开深入探究讨论。正是在对于函数的各种极限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系。浅谈实数的完备性1.实数完备性

5、定理在《数学分析》中所占的地位实数集的连续性是实数集区别于冇理数集的一个重要特征，是实数集其屮的优点，而实数完备性又是数学分析中的一个基础，再加上数学分析是数学专业的必修课程z—・实数域的完备性是人们经过长期的探索与研究里一步步总结认识的，它是所冇函数分析理论的本质基础，由此获得了极限论、微积分学等许多重要的数学成果.数学分析的基础是实数理论.对于实数系而言最关键的属性即完备性与连续性,拥有这两种属性，才可以对于极限，连续，微分和积分展开深入探究讨论。正是在对丁函数的各种极限运算加以探讨的过程里，人们开始逐步构建其严密的数学分析理论体系，不仅只是在《数学分析》中谈论到，还在《实变函数》中进

6、一步研究过.2.实数集的完备性对于实数的完备性，几位著名数学家基于各个视角，釆取多种方法加以阐述；在刘玉莲所写的课本《数学分析》中分别列出了实数完备性定理的六个基本定理，而这六个定理分别是1、闭区间套定理2、确界定理3、有限覆盖定理4、聚点定理5、致密性定理6、柯四收敛准则，它们是基本等价的可以出现循环证明及应用，在以后得数学屮起到很大的作用；我也是参照他的书定理开始证明，并用另一种顺序开始证明的，以此来说明它们的等价关系以及六个定理的重要性.1.实数六个基本定理的描述和证明3.1闭区间套定3.1.1定理1（闭区间套定理）设有闭区间{[j,bj}.若1）[a],bjz>[a2,b2]...

7、o[aM,bM];2)lim(b^-aj=0.川一>8则存在唯一的实数/是属于所有的闭区间(即n[a„,b„]=/),且n=lliman-hmbn-1(3.1.1)证明由条件1)可知，数列血｝为递增并且是有界的数列，由单调有界定理可知，仏｝有极限几且有an