有限脉冲响应数字滤波器的设计

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1、第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用切比雪夫逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点FIR滤波器具有线性相位的特性，它的幅度有特殊的对称性，零点和网络结构也很特别。1.线性相位的条件对于长度为N的h(n)，传输函数为式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。注意，这里Hg(ω)不同于

2、H(ejω)

3、,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而

4、H(ejω)

5、总是正值。H(ejω)

6、线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=-τω,τ为常数(7.1.3)如果θ(ω)满足下式也称为线性相位，θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位(7.1.4)严格地说，此时θ(ω)不具有线性相位。但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即所以两种情况都称为线性相位。一般称满足(7.1.3)式是第一类线性相位；满足(7.1.4)式为第二类线性相位。FIR滤波器具有第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即h(n)=h(N-n-1)FIR滤波器具有第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即h(n)=-h(N-n

7、-1)2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的系统函数分别满足(7.1.7)式和(7.1.10)式，综合起来用下式表示：图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，从上面的公式可以看出，线性相位FIR滤波器比FIR滤波器的直接型结构节省乘法器近一半。线性相位滤波器的网络结构图如下：图7.1.2第一类线性相位网络结构图7.1.3第二类线性相位网络结构7.2利用窗函数法设计FIR滤

8、波器设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω)，hd(n)是它的单位脉冲响应，因此对于理想的低通滤波器，它的传递函数为相应的单位取样响应hd(n)为为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗以上就是用窗函数法设计FIR滤波器的思路。另外，我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅氏级数，即根据复卷积定理，得到：

9、式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)和RN(n)的傅里叶变换，即RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ejω)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：将H(ejω)写成下式：其卷积结果用图表示比较直观。图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响通过以上分析可知，对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近H(ω)有过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内H(ω

10、)有波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内H(ω)有余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。下面介绍几种常用的窗函数。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)2.三角形窗(BartlettWindow)3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗4.哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗5.布莱克曼(Blackman)窗图7.2.4常用的窗函数图7.2.5常用窗函数的幅度特性(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗图7.2.6理想低通加窗后的幅度特性(N=5

11、1,ωc=0.5π)(a)矩形窗；(b)巴特利特窗(三角形窗)；(c)汉宁窗；(d)哈明窗；(e)布莱克曼窗下面介绍用窗函数设计FIR滤波器的步骤。(1)根据技术要求确定待求滤波器的单位取样响应hd(n)。如果给出待求滤波器的频响为Hd(ejω)，那么单位取样响应用下式求出：(2)根据对过渡带及阻带衰减的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用Δω表示，它近似等于窗函数主瓣宽度。(3)计算滤波器的单位取样响应h(n)，h(n)=hd(n)w(n)(4)验算技术指标是否满足要求。设计出的滤波器频率响应用下式计算：例7.2.1用矩形窗、汉

12、宁窗和布莱克曼窗设计FI