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1、第7章有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.3利用频率采样法设计FIR滤波器7.4利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器7.5IIR和FIR数字滤波器的比较7.6几种特殊类型滤波器简介7.1线性相位FIR数字滤波器的条件和特点1.线性相位条件对于长度为N的h(n)，频率响应函数为(7.1.1)(7.1.2)Hg(ω)-----幅度特性，Hg(ω)不同于
2、H(ejω)
3、,Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值。θ(ω)-----相位特性。H(ejω)线性相位是指θ(ω)是ω的线性函数，即θ(ω)=-τω,τ为常数（第一类线性相位
4、）如果θ(ω)满足下式：θ(ω)=θ0-τω,θ0是起始相位（第二类线性相位）(7.1.3)(7.1.4)线性相位FIR的时域约束条件满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点偶对称，即h(n)=h(N-n-1)(7.1.5)满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列，且关于n=(N-1)/2点奇对称，即h(n)=-h(N-n-1)(7.1.6)(1)第一类线性相位条件证明：(7.1.7)要求满足下列条件(2)第二类线性相位条件证明：用同样的方法可得：2.线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点1)h(n)=h(N-n-1),N=奇数按照(7.1.8)式
5、，幅度函数Hg(ω)为式中，h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2。这样幅度函数表示为上式中，由于cosωn项对ω=0,π,2π皆为偶对称，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是偶对称的，可实现各种滤波器。2)h(n)=h(N-n-1),N=偶数所以，不能实现高通和带阻滤波器。对ω=0,2π皆为偶对称。3)h(n)=-h(N-n-1),N=奇数上式中，由于sin项在ω=0,π,2π皆为0，因此幅度特性的特点是对ω=0,π,2π是奇对称的，只能实现带通滤波器。4)h(n
6、)=-h(N-n-1),N=偶数类似上面3)情况，推导如下：上式中，由于sin项在ω=0,2π皆为0，因此幅度特性的特点是对ω=0,2π是奇对称的，不能实现低通和带阻，不能实现低通和带阻滤波器。3.线性相位FIR滤波器零点分布特点第一类和第二类线性相位的分别满足：图7.1.1线性相位FIR滤波器零点分布4.线性相位FIR滤波器网络结构设N为偶数，则有令m=N-n-1,则有如果N为奇数，则将中间项h［(N-1)/2］单独列出，图7.1.2第一类线性相位网络结构图7.1.3第二类线性相位网络结构7.2利用窗函数法设计FIR滤波器7.2.1窗函数法设计原理设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω
7、),hd(n)是与其对应的单位脉冲响应，因此相应的单位取样响应hd(n)为(7.2.1)(7.2.2)为了构造一个长度为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称。设截取的一段用h(n)表示，即h(n)=hd(n)RN(n)(7.2.3)线性相位理想低通我们实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为N，其系统函数为H(z)，图7.2.1理想低通的单位脉冲响应及矩形窗我们知道Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数对h(n)=hd(n)RN(n)进行傅里叶变换，根据复卷积定理，得到：(7.2.4)式中，Hd(ejω)和RN(ejω)分别是hd(n)
8、和RN(n)的傅里叶变换，即(7.2.5)RN(ω)称为矩形窗的幅度函数；将Hd(ejω)写成下式：按照(7.2.1)式，理想低通滤波器的幅度特性Hd(ω)为将Hd(ejω)和RN(ejω)代入(7.2.4)式，得到：将H(ejω)写成下式：(7.2.6)图7.2.2矩形窗对理想低通幅度特性的影响对hd(n)加矩形窗处理后，H(ω)和原理想低通Hd(ω)差别有以下两点：(1)在理想特性不连续点ω=ωc附近形成过渡带。过渡带的宽度，近似等于RN(ω)主瓣宽度，即4π/N。(2)通带内增加了波动，最大的峰值在ωc-2π/N处。阻带内产生了余振，最大的负峰在ωc+2π/N处。在主瓣附近，按照(7
9、.2.5)式，RN(ω)可近似为加大N只能减小过渡带，并不是减小减小吉布斯效应的有效方法。7.2.2常用的窗函数介绍。设h(n)=hd(n)w(n)式中w(n)表示窗函数。1.矩形窗(RectangleWindow)wR(n)=RN(n)前面已分析过，按照(7.2.5)式，其频率响应为2.三角形窗(BartlettWindow)(7.2.8)其频率响应为(7.2.9)3.汉宁(Hanning)窗——升余弦窗当N1时，N-
