2018届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第十一节导数的应用学案文

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1、1.了解函数单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．3．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．4．会用导数解决实际问题．知识点一　利用导数研究函数的单调性函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，1．若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内是____________；2．若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内是____________；3．若恒有f′(x)＝

2、0，则f(x)在这个区间内是________．答案1．单调递增函数　2.单调递减函数3．常函数1．判断正误(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　)答案：(1)×　(2)×2．(选修1—1P91例1改编)如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　)-25-A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数解析：当x

3、∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．答案：A3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是________．解析：由f′(x)＝ex－1>0，解得x>0，故其单调递增区间是(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)知识点二　利用导数研究函数的极值函数极值的概念函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0

4、；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．4．函数f(x)＝

5、x

6、的极值点是________，函数f(x)＝(x－1)3的极值点________．解析：结合函数图象可知f(x)＝

7、x

8、的极值点是x＝0(此时函数的导数不存在)，f′(x)＝3(x－1)2≥0，f′(x)＝0无变号零点，故函数f(x)＝(x－1)3不存在极值点．答

9、案：0　不存在5．(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)-25-A．－4B．－2C．4D．2解析：由题意得f′(x)＝3x2－12.由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.答案：D知识点三　函数最值的求解步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y

10、＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．6．(选修1—1P97例5改编)函数f(x)＝x3－12x在区间[－3,3]上的最大值是________．解析：由f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，验证可知x＝－2是函数f(x)的极大值点，故函数f(x)在[－3,3]上的最大值f(x)max＝max{f(－2)，f(3)}＝max{16，－9}＝16.答案：16第1课时　导数与函数的单调性热点一　判断或证明函数的单调性【例1】　已知函数f(x)＝(a－1)lnx＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单

11、调性．【解】　f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋2ax＝，①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；-25-③当00.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.【总结反思】导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数.已知函数f(x)＝x

12、2－ex，试判断f(x)的单调性并给予证明．解：f(x)在R上单调递减．设g(x