有理多项式曲线逼近的新方法【文献综述】

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1、毕业论文文献综述信息与计算科学有理多项式曲线逼近的新方法CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品几何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，乂对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使几何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲而）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。由于有理曲线在几何造型设计中有着广泛和重要的应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理

2、曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。Bezie曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线屮独树一帜，一经问世,就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之一,人们对它情有独钟。Bezier方法在实践中表现出强大的生命力。国内外研究文献中已有许多多项式Bezier曲线逼近有理Bezier曲线的方法，例如：用混合多项式逼近有理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理Bezier曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用Her

3、mite多项式逼近有理Bezier曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用Hermite多项式逼近有理Bezier曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线等。此外，由于Bezier线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条Bezier曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的Bezier曲线。因此可以通过升阶的方法使Bezier曲线一致收敛到有理多项式Bezier曲线。例如：参考文献⑺中提到的方法：对一个任意给定连续升阶的有理Bezier曲线，用它的控制点构造Bezier曲线的控制点，得岀任意给定阶数的Bezier曲线序列的r阶导数

4、将一致收敛到对应的原有理Bezier曲线的i•阶导数。这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的Bezier曲线，实现用新构造的多项式Bezier曲线逼近原有理Bezier曲线，与现有的研究方法相比,更具儿何直观性，方法更简洁直接，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。研究的主要内容有以下几点：1、构造新的多项式Bezier曲线的解析表达式。根据参考文献⑺，对一个任意给定连续升阶的有理Bezier曲线，用它的控制点构造Bezier曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bezier曲线序列的

5、r•阶导数将一致收敛到对应的原有理Bezier曲线的r阶导数，记升阶后的有理Bezier曲线的控制点为｛£.｝,根据参考文献［7］中的引理1：(SeeFarin,1999.)当有理Bezier曲线…一若％点几⑴不断升阶，它的控制点｛£”｝一致收敛到｛/?(!)｝,用｛匕｝和航占的线匕⑴一nnn工⑴r=0性组合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为多项式Bezier曲线的控制点，以此实现课题研究的目的，用构造的多项式Bezier曲线逼近原有理Bezier曲线。2、根据研究方案，找到线性变化的控制点，具体计算儿个有代表性的算例，这里选4阶、5阶、6阶的Bezier曲线逼近同阶的有

6、理Bezier曲线，以此说明用构造的新的多项式Bezier曲线逼近原有理Bezier曲线的有效性和可行性。3、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精度。①、在Bezier曲线性质的基础上，移动Bezier曲线的控制点，调整逼近的方法。②、修正逼近的精度的算法。参考文献：［1］王国谨，汪国昭，郑建明,计算机辅助几何设计.北京市:高等教育出版社,2001.36-46.

7、2)陈效群，陈发来,陈长松•有理曲线的多项式逼近［J］•高校应用数学学报A辑(中文版),199&(S1).［3］寿华好，王国瑾•区间Bezier曲线的边界［J］.高校应用数学学报A辑(中文版

8、)，199&(S1).［4］陈效群，娄文平•有理曲线的区间Bezier曲线的逼近［J］.屮国科学技术大学学报,2001,(04).［5］孟祥国，王仁宏.有理曲面的区间Bezier曲面的逼近［J］・数值计算与计算应用，2003,(04).[6]ThomasW.Sederberg.MasanoriKakimoto,Approximatingrationalcurvesusingpolynomialcurves,inNURBSfarCurveandSurfaceDesign.G.Far