有理多项式曲线逼近的新方法【开题报告】

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1、毕业论文开题报告信息与计算科学有理多项式曲线逼近的新方法-、选题的背景与意义CAGD（计算机辅助几何设计）是一门迅速发展的新兴学科，它的核心问题是要解决工业产品儿何形状的数学描述。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，乂对现在工业的发展起到了巨大的促进作用。它使儿何学从传统时代进入数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。有理函数（有理曲线、有理曲面）在CAGD（计算机辅助几何设计）学科中占有重要的地位，有广泛和重要的应用，它广为人们接受，为CAGD的进一步发展奠定了坚实基础。由于有理曲线在儿何造型设计中有着广泛和重要的

2、应用，但是相比较多项式曲线的形式较复杂，尤其是微分和积分的形式。因此用多项式逼近有理曲线的问题具有重要的理论和实际意义，并已得到广泛的研究。Bezie曲线是参数多项式曲线，由于它采用一组独特的多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，在诸多形式的参数多项式曲线中独树一帜，一经问世，就受到工业界和CAGD学术界的广泛重视，它是CAGD中最基本的造型工具之.一，人们对它情有独钟。BQzier方法在实践屮表现出强大的生命力。国内外研究文献中己有许多多项式Bezier曲线逼近有理Bezier曲线的方法，例如:用混合多项式逼近有

3、理函数、研究混合曲线控制点的移动范围、利用多项式逼近有理函数和有理曲线的收敛条件，研究区间有理B6zier曲线的边界、基于有理函数的混合表达式用Hermite多项式逼近有理Bezier曲线，研究多项式逼近有理曲线的收敛条件、用Hermite多项式逼近有理Bezier曲线的递归方法，以及通过用低阶的多项式曲线来插值有理参数曲线此外，由于Bezier曲线可以不断升阶，从而得到一个控制多边形序列，它们都定义同一条Bezier曲线。这个多边形序列将收敛都一个极限，就是所定义的Bezier曲线。因此可以通过升阶的方法使Bezi

4、er曲线一致收敛到有理多项式Bezier曲线。例如：参考文献⑺屮提到的方法：对一个任意给定连续升阶的有理Bezier曲线，用它的控制点构造Bezier曲线的控制点，得岀任意给定阶数的Bezier曲线序列的r阶导数将一致收敛到对应的原有理Bezier曲线的r阶导数。这些方法各有特点，各有自己的适用场合，但是关于这一问题显然还有值得完善和改进的地方。我将在已有研究方法的基础上，构造一个新的Bezier曲线，实现用新构造的多项式Bezier曲线逼近原有理Bezier曲线，与现有的研究方法相比，更具儿何直观性，方法更简洁直接

5、，并且将尽可能提高逼近精度，便于计算机操作与应用的实现。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1.调研用多项式参数曲线逼近有理曲线的背景及意义，综述已有方法的优缺点；2.提出用多项式参数曲线逼近有理曲线的一种新方法，并给出具体计算实例。构造新的Bezier曲线来逼近有理Bezier曲线。根据参考文献［7］,对一个任意给定连续升阶的有理Bezier曲线，用它的控制点构造Bezier曲线的控制点，得出任意给定阶数的Bezier曲线序列的r阶导数将一致收敛到对应的原有理Bezier曲线的r阶导数，记升阶后的有理Bezier曲

6、线的控制点为｛£.｝,根据参考文献［7］中的引理1：(SeeFarin,1999.)当有理Bezier曲线…再％几凡⑴不断升阶，它的控制点｛氏｝一致收敛到｛心丄)｝,用｛巴｝和嵌厶］的线性组—-nn工％B「⑴；=0合构造新的控制点，用这些线性变化的控制点作为多项式Bezier曲线的控制点，以此实现课题研究的目的，用构造的多项式Bezier曲线逼近有理Bezier曲线。三、研究的方法与技术路线1、尝试给出新控制顶点的解析表达式。使用直观的儿何方法，通过升阶的方法，改变原有理Bezier曲线的控制点和权值，以参考文献［7

7、］作为理论依据，构造新的多项式Bezier曲线的控制点。实现用多项式Bezier曲线逼近有理Bezier曲线。2、提高逼近精度。在Bezier曲线性质的基础上，移动Bezier曲线的控制点，來逼近有理Bezier曲线，使得逼近误差尽可能小。3、给出适当的算例来说明我们所给出方法的可行性与可操作性。选4阶、5阶、6阶的Bezier曲线逼近同阶的有理Bezier曲线，以此说明用构造的新的多项式Bezier曲线逼近原有理Bezier曲线的有效性和可行性。4、整理用代表性算例计算的算法和结果，针对算例中出现的问题，提高逼近精

8、度。①、在Bezier线性质的基础上，移动BezierHI1线的控制点，调整逼近的方法。②、修正逼近的精度的算法。四、研究的总体安排与进度1.2010-2011年第一学期第13周：选题、开题论证会。第14周：对文献综述和开题报告进行修改。第15-19周：收集资料，提交论文研究框架。2.2010-2011年第二学期第1-7周：提交毕业论文初稿给指