[工学]第3章 电路的暂态分析

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第3章电路的暂态分析3.2储能元件和换路定则3.3RC电路的响应3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法3.6RL电路的响应3.5微分电路和积分电路3.1电阻元件、电感元件与电容元件 教学要求：稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。1.理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义。2.掌握换路定则及初始值的求法。3.掌握一阶线性电路分析的三要素法。第3章电路的暂态分析 电路暂态分析的内容1.利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。研究暂态过程的实际意义2.控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。(1)暂态过程中电压、电流随时间变化的规律。直流电路、交流电路都存在暂态过程,我们讲课的重点是直流电路的暂态过程。(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。 3.1.1电阻元件。根据欧姆定律:即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系线性电阻金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的导电性能有关，表达式为：表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。电阻元件是耗能元件。电阻的能量Ru+_3.1电阻元件、电感元件与电容元件 描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。1.物理意义电感:(H、mH)3.1.2电感元件电流通过N匝线圈产生(磁链)电流通过一匝线圈产生(磁通)u+-线圈的电感与线圈的尺寸、匝数以及附近的介质的导磁性能等有关。 自感电动势：2.自感电动势方向的判定(1)自感电动势的参考方向规定:自感电动势的参考方向与电流参考方向相同,或与磁通的参考方向符合右手螺旋定则。+-eL+-L电感元件的符号S—线圈横截面积（m2）l—线圈长度（m）N—线圈匝数μ—介质的磁导率（H/m） (2)自感电动势瞬时极性的判别00 (3)电感元件储能根据基尔霍夫定律可得：将上式两边同乘上i，并积分，则得：即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时，磁场能增大，电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。磁场能电感元件不消耗能量，是储能元件。 3.1.3电容元件描述电容两端加电源后，其两个极板上分别聚集起等量异号的电荷，在介质中建立起电场，并储存电场能量的性质。电容：uiC+_电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数等有关。S—极板面积（m2）d—板间距离（m）ε—介电常数（F/m）当电压u变化时，在电路中产生电流: 电容元件储能将上式两边同乘上u，并积分，则得：即电容将电能转换为电场能储存在电容中，当电压增大时，电场能增大，电容元件从电源取用电能；当电压减小时，电场能减小，电容元件向电源放还能量。电场能根据：电容元件不消耗能量，也是储能元件。 3.2储能元件和换路定则1.电路中产生暂态过程的原因电流i随电压u比例变化。合S后：所以电阻电路不存在暂态过程(R耗能元件)。图(a)：合S前：例：tIO(a)S+-UR3R2u2+-i ∵L储能：换路:电路状态的改变。如：由于电路的接通、断开、短路、电压改变或参数改变等现象。不能突变Cu∵C储能：产生暂态过程的原因：由于物质所具有的能量不能跃变而造成在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变若发生突变，不可能！一般电路则3.2储能元件和换路定则 电容电路：设：t=0—表示换路瞬间(定为计时起点)t=0-—表示换路前的终了瞬间t=0+—表示换路后的初始瞬间（初始值）换路定则:电感电路：产生暂态过程的必要条件：(1)电路中含有储能元件(内因)(2)电路发生换路(外因)注：换路定则仅用于换路瞬间，可根据它来确定时暂态过程中uC、iL初始值，从而再确定电路中其它物理量的初始值。从到瞬间，电感元件中的电流和电容元件上的电压不能跃变，这称为换路定则。 初始值的确定求解要点：(2)其它电量初始值的求法。初始值：电路中各u、i在t=0+时的数值。(1)uC(0+)、iL(0+)的求法。1)先由t=0-的电路求出uC(0–)、iL(0–)；2)根据换路定律求出uC(0+)、iL(0+)。1)由t=0+的电路求其它电量的初始值；2)在t=0+时的电压方程中uC=uC(0+)、t=0+时的电流方程中iL=iL(0+)。 例1：在图示电路中，试确定在开关S闭合后的初始瞬间的电压，和电流，，及的初始值。设开关闭合前电路已处于稳态。10V5mA05mA0010V10V5mA-10mA015mA-10V0 暂态过程初始值的确定例2．解：(1)由换路前电路求由已知条件知根据换路定则得：已知：换路前电路处稳态，C、L均未储能。试求：电路中各电压和电流的初始值。S(a)CUR2R1t=0+-L 暂态过程初始值的确定例2:,换路瞬间，电容元件可视为短路。,换路瞬间，电感元件可视为开路。iC、uL产生突变(2)由t=0+电路，求其余各电流、电压的初始值SCUR2R1t=0+-L(a)电路iL(0+)UiC(0+)uC(0+)uL(0+)_u2(0+)u1(0+)i1(0+)R2R1+++__+-(b)t=0+等效电路 例3：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(1)由t=0-电路求uC(0–)、iL(0–)换路前电路已处于稳态：电容元件视为开路；电感元件视为短路。由t=0-电路可求得：4Rt=0-等效电路2+_R2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LC2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34 例3：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：由换路定则：2+_RR2R1U8Vt=0++4i14ic_uc_uLiLR34CL2+_R2R1U8V++4i14iC_uC_uLiLR3LCt=0-等效电路 例3：换路前电路处稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。解：(2)由t=0+电路求iC(0+)、uL(0+)uc(0+)由图可列出带入数据iL(0+)C2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34Lt=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4iC_iLR3i 例3：换路前电路处于稳态。试求图示电路中各个电压和电流的初始值。t=0+时等效电路4V1A42+_RR2R1U8V+4ic_iLR3i解：解之得并可求出2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34 计算结果：电量换路瞬间，不能跃变，但可以跃变。2+_RR2R1U8Vt=0++4i14iC_uC_uLiLR34 结论1.换路瞬间，uC、iL不能跃变,但其它电量均可以跃变。3.换路前,若uC(0-)0,换路瞬间(t=0+等效电路中),电容元件可用一理想电压源替代,其电压为uc(0+);换路前,若iL(0-)0,换路瞬间(在t=0+等效电路中),电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。2.换路前,若储能元件没有储能,换路瞬间(t=0+的等效电路中)，可视电容元件短路，电感元件开路。 3.3RC电路的响应经典法:根据激励(电源电压或电流)，通过求解电路的微分方程得出电路的响应(电压和电流)。零输入响应：电路的外施激励为零，仅有电路内部储能元件储存的能量产生电路响应。零状态响应：电路在零初始条件下，即电路中的储能元件L，C仅由外施激励源产生的电路响应。全响应：电路的初始条件不为零，又有外施激励源，二者共同作用产生的电路响应。 代入上式得换路前电路已处稳态t=0时开关,电容C经电阻R放电一阶线性常系数齐次微分方程(1)列KVL方程1.电容电压uC的变化规律(t0)零输入响应:无电源激励,输入信号为零,仅由电容元件的初始储能所产生的电路响应。图示电路实质：RC电路的放电过程3.3.1RC电路的零输入响应+-SRU21+–+– (2)解方程：特征方程由初始值确定积分常数A齐次微分方程的通解：电容电压uC从初始值按指数规律衰减，衰减的快慢由RC决定。(3)电容电压uC的变化规律 电阻电压：放电电流:电容电压:2.电流及电阻电压的变化规律tO3.、、变化曲线 4.时间常数(2)物理意义令:单位:S(1)量纲当时时间常数决定电路暂态过程变化的快慢时间常数等于电压衰减到初始值U0的所需的时间。 当t=5时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。(3)暂态时间理论上认为、电路达稳态工程上认为~、电容放电基本结束。t0.368U0.135U0.050U0.018U0.007U0.002U随时间而衰减 3.3.2RC电路的零状态响应零状态响应:储能元件的初始能量为零，仅由电源激励所产生的电路的响应。实质：RC电路的充电过程分析：在t=0时，合上开关s，此时,电路实为输入一个阶跃电压u，如图。与恒定电压不同，其电压u表达式uC(0-)=0sRU+_C+_iuCUtu阶跃电压O 一阶线性常系数非齐次微分方程方程的通解=方程的特解+对应齐次方程的通解1.uC的变化规律(1)列KVL方程3.3.2RC电路的零状态响应uC(0-)=0sRU+_C+_iuc(2)解方程求特解： 求对应齐次微分方程的通解通解即：的解微分方程的通解为求特解----（方法二）确定积分常数A根据换路定则在t=0+时， (3)电容电压uC的变化规律暂态分量稳态分量电路达到稳定状态时的电压-U+U仅存在于暂态过程中63.2%U-36.8%Uto 3.、变化曲线t当t=时表示电容电压uC从初始值上升到稳态值的63.2%时所需的时间。2.电流iC的变化规律4.时间常数的物理意义为什么在t=0时电流最大？U 经典法步骤:1.根据换路后的电路列微分方程2.求特解（稳态分量）3.求齐次方程的通解(暂态分量）4.由电路的初始值确定积分常数对于复杂一些的电路，可由戴维南定理将储能元件以外的电路化简为一个电动势和内阻串联的简单电路，然后利用经典法的结论。 例3.2.2已知U=9V,R1=6k,R2=3k,C=1000pF,，求S闭合后的解：等效电路中E+-Cu0RC 3.3.3RC电路的全响应1.uC的变化规律全响应:电源激励、储能元件的初始能量均不为零时，电路中的响应。根据叠加定理全响应=零输入响应+零状态响应uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC 稳态分量零输入响应零状态响应初始值结论2：全响应=稳态分量+暂态分量全响应结论1：全响应=零输入响应+零状态响应稳态值暂态分量 U0.632U越大，曲线变化越慢，达到稳态时间越长。结论：当t=5时,暂态基本结束,uC达到稳态值。0.998Ut000.632U0.865U0.950U0.982U0.993UtO 如果U=U0,曲线会是什么形状？ 综上所述，计算线性电路暂态过程的步骤可归纳如下：对换路后的电路列微分方程；求解微分方程的通解，可用分离变量法或应用一阶线性微分方程的公式法进行求解；根据换路定则确定暂态过程的初始值；确定方程解的积分常数；根据电路理论进一步计算其它待求量。 稳态值初始值3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,且由一阶微分方程描述，称为一阶线性电路。据经典法推导结果全响应uC(0-)=UosRU+_C+_iuc ：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,--初始值（三要素）稳态值--时间常数--在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素求解暂态过程的方法，称为三要素法。一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得、和的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。 电路响应的变化曲线tOtOtOtO 三要素法求解暂态过程的要点终点起点(1)求初始值、稳态值、时间常数；(3)画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。(2)将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式；tf(t)O 求换路后电路中的电压和电流，其中电容C视为开路,电感L视为短路，即求解直流电阻性电路中的电压和电流。(1)稳态值的计算响应中“三要素”的确定uC+-t=0C10V5k1FS例：5k+-t=03666mAS1H 1)由t=0-电路求2)根据换路定则求出3)由t=0+时的电路，求所需其它各量的或在换路瞬间t=(0+)的等效电路中电容元件视为短路。其值等于(1)若电容元件用恒压源代替，其值等于I0,,电感元件视为开路。(2)若,电感元件用恒流源代替，注意：(2)初始值的计算 1)对于简单的一阶电路，R0=R;2)对于较复杂的一阶电路，R0为换路后的电路除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。(3)时间常数的计算对于一阶RC电路对于一阶RL电路注意：若不画t=(0+)的等效电路，则在所列t=0+时的方程中应有uC=uC(0+)、iL=iL(0+)。 R0U0+-CR0R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法。即从储能元件两端看进去的等效电阻，如图所示。R1U+-t=0CR2R3SR1R2R3 例1：解：用三要素法求解电路如图，t=0时合上开关S，合S前电路已处于稳态。试求电容电压和电流、。(1)确定初始值由t=0-电路可求得由换路定则应用举例t=0-等效电路9mA+-6kRS9mA6k2F3kt=0+-CR (2)确定稳态值由换路后电路求稳态值(3)由换路后电路求时间常数t∞电路9mA+-6kR3kt=0-等效电路9mA+-6kR 三要素uC的变化曲线如图18V54VuC变化曲线tO 用三要素法求54V18V2kt=0+++--S9mA6k2F3kt=0+-CR3k6k+-54V9mAt=0+等效电路 例2：由t=0-时电路电路如图，开关S闭合前电路已处于稳态。t=0时S闭合，试求：t≧0时电容电压uC和电流iC、i1和i2。解：用三要素法求解求初始值+-St=06V123+-t=0-等效电路12+-6V3+- 求时间常数由右图电路可求得求稳态值+-St=06V123+-23+- (、关联)+-St=06V123+- 3.5微分电路和积分电路3.5.1微分电路微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，可构成输出电压波形与输入电压波形之间的特定（微分或积分）的关系。1.电路条件(2)输出电压从电阻R端取出TtU0tpCR+_+_+_ 2.分析由KVL定律由上式可知输出电压近似与输入电压对时间的微分成正比。3.波形tt1UtpOtOCR+_+_+_ 3.5.2积分电路条件(2)从电容器两端输出。由图：1.电路输出电压与输入电压近似成积分关系。2.分析TtU0tpCR+_+_+_ 3.波形t2Utt1tt2t1Utt2t1U用作示波器的扫描锯齿波电压应用:u1 得出特征方程换路前，开关S长期合在2的位置，电感元件已有电流。在t=0时开关合在1的位置，并且电感元件的电流的初始值为微分方程通解：3.6RL电路的响应3.6.1RL电路的零输入响应U+-SRL21t=0+-+-令通解为：代入上式,1.应用经典法 由初始条件求得:其中，为电路的时间常数。 2.应用三要素法求的变化规律1)确定初始值2)确定稳态值3)确定电路的时间常数U+-SRL21t=0+-+- (2)变化曲线OO-UUU+-SRL21t=0+-+- 3.RL直接从直流电源断开(1)可能产生的现象1)刀闸处产生电弧2)电压表瞬间过电压U+-SRL21t=0+-+-U+-SRL21t=0+-+-V 已知:电压表内阻设开关K在t=0时打开。求:K打开的瞬间,电压表两端电压。解:换路前换路瞬间K.ULVRiL例 t=0+时的等效电路VKULVRiL过电压 KUVLRiLKUVLRiLR'续流二极管低值泄放电阻(2)解决措施2)接放电电阻1)接续流二极管VD 图示电路中,RL是发电机的励磁绕组，其电感较大。Rf是调节励磁电流用的。当将电源开关断开时，为了不至由于励磁线圈所储的磁能消失过快而烧坏开关触头，往往用一个泄放电阻R´与线圈联接。开关接通R´同时将电源断开。经过一段时间后，再将开关扳到3的位置，此时电路完全断开。例:(1)R´=1000,试求开关S由1合向2瞬间线圈两端的电压uRL。电路稳态时S由1合向2。(2)在(1)中,若使uRL不超过220V,则泄放电阻R´应选多大？ULRF+_RR´1S23i 解:(3)根据(2)中所选用的电阻R´,试求开关接通R´后经过多长时间，线圈才能将所储的磁能放出95%？(4)写出(3)中uRL随时间变化的表示式。换路前，线圈中的电流为(1)开关接通R´瞬间线圈两端的电压为(2)如果不使uRL超过220V,则即 (3)求当磁能已放出95%时的电流求所经过的时间 3.6.2RL电路的零状态响应1.变化规律三要素法U+-SRLt=0+-+- 2.、、变化曲线OO 时间常数L越大，R越小，电感在达到稳态时的储能越多，这会使得暂态过程变慢。 用三要素法求解：(1)初始值：(2)稳态值：(3)时间常数：3.6.3RL电路的全响应 全响应零输入响应零状态响应 1.变化规律（三要素法）+-R2R146U12Vt=0-时等效电路t=012V+-R1LS1HU6R234R3+-已知：S在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求:电感电流例: 12V+-R1LSU6R234R3t=时等效电路+-R1L6R234R31H 用三要素法求2.变化规律+-R11.2AU6R234R3t=0+等效电路+- 21.2O变化曲线变化曲线42.40+-R1iLU6R234R3t=时等效电路+- 用三要素法求解解:已知：S在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。求:电感电流例:t=0¯等效电路213AR12由t=0¯等效电路可求得(1)求uL(0+),iL(0+)t=03AR3IS211H_+LSR2R12 t=03AR3IS211H_+LSR2R12由t=0+等效电路可求得(2)求稳态值t=0+等效电路212AR12+_R3R2t=等效电路212R1R3R2由t=等效电路可求得 (3)求时间常数t=03AR3IS211H_+LSR2R1221R12R3R2L起始值-4V稳态值2A0tiL,uL变化曲线