一类非线性离散系统多个周期解存在性的新结果

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1、一类非线性离散系统多个周期解存在性的新结果摘要应用临界点理论，获得一类离散非线性系统存在多个周期解的条件.本文结论对一些文献的结论作了一些改进.?p键词非线性；离散系统；多个周期解；临界点理论中图分类号017529文献标识码A文章编号10002537(2016)06007307TheNewResultsofExistenceofMultiplePeriodicSolutionsforaClassofNonlinearDiscreteSystemsQINXucwcn,SUFang*(CollegeofInformationandElectronicEngineering，WuzhouUniver

2、sity,Wuzhou543002,China)AbstractUsingcriticalpointtheory，somesufficientconditionsareobtainedontheexistenceofmultipleperiodicsolutionsforaclassofnonlineardiscretesystems.Ourresultsimprovesomeknownones.Keywordsnonlinear；discretesystems；multipleperiodicsolutions；criticalpointtheory设N,Z和R分别表示自然数集、整数集和实数

3、集，对任意a，bez,aRn,f(k,U)=(fl(k,U),f2(k,U),…，fn(k,U))T关于U是连续的，p(k),q(k)是定义在Z上的实值函数，对任意keZ，p(k)是非零的.本文假设存在常数TEN，使对任意kEZ，UERn，有P(k+T)=p(k)，q(k+T)=q

4、(k),f(k+T,U)=f(k,U).近年来，关于非线性离散系统周期解存在性问题有许多学者进行了研究，取得了一定的成果，参见文献[1〜16].文献[1]讨论了系统：A[p(k)Au(k—1)]+q(k)u(k)=f(k，u(k)),kEZ.(2)这是系统(1)当的情形.文献[2]讨论了系统A2X(k-1)+f(k,X(k))=0，kez.(3)周期解的存在性.显然，系统(3)是(1)当q(k)=0,p(k)二-1,kEZ的情形.1预备知识与变分结构设E是实Banach空间，Jed(E,R),即J是定义在E上Fr6chet连续可微的泛函.如果对{un}°°n=lE，J(un)有界，Jz(un)

5、-^0,蕴含{im}有收敛的子列，则称泛函J满足PalaisSmale条件，简称PS条件.设Br是E屮以零点0E为屮心，r为半径的开球，Br表示Br的边界.下面的环绕定理对后面主要结果的证明起着重要作用.2主要结果本节将给出系统(1)存在非零周期解的几个条件.定理1设K+W至少有一个正特征值和一个负特征值，X+max,X+min和入-max,入-min分别是K+W最大正特征值、最小正特征值和最大负特征值、最小负特征值，w=max{-X-min,入+max}.如果下列条件满足5.综上所述，J(X)在ET上必存在至少两个不同的的非零临界点，从而系统(1)存在至少两个不同的非零周期解.定理1对定理A

6、和定理B作了改进，去掉了定理A和定理B的条件(pi)、(ql).在定理1的条件下，矩阵K+W的特征根可以是正的、负的和零.参考文献：[1]YUJS,GUOZM,ZOUXF.Periodicsolutionsofsecondorderselfadjointdifferenceequation[J].JLondonMathSoc，2005,71(1)：146160.[2]ZHOUZ,YUJS,GUOZM.Periodicsolutionsofhigherdimensionaldiscretesystems[J].ProcRoySocEdinbSectA,2004,134(9)：10131022.[

7、3]TANWM,ZHOUZ.Existenceofmultipleperiodicsolutionsforaclassofnonlineardifferencesystems[C].Proceedingsofthe7thconferenceonbiologicaldynamicsystemandstabilityofdifferentialequation,volumeII，2010.[1]TAN