多元正态总体统计推断

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1、第四章多元正态总体的统计推断§4.1一元情形的回顾§4.2单个总体均值的推断§4.3单个总体均值分量间结构关系的检验§4.4两个总体均值的比较推断§4.5两个总体均值分量间结构关系的检验§4.6多个总体均值的比较检验（多元方差分析）§4.7总体相关系数的推断§4.2单个总体均值的推断一、均值向量的检验二、置信区域三、联合置信区间一、均值向量的检验设x1,x2,⋯,xn是取自总体x~Np(μ,Σ)的一个样本，这里Σ>0,n>p，欲检验H0：μ=μ0，H1：μ≠μ01.Σ已知检验统计量为拒绝规

2、则为：若，则拒绝H02.Σ未知检验统计量为称之为霍特林（Hotelling）T2统计量。当H0为真时服从F(p,n−p)，对给定的显著性水平α，拒绝规则为：若，则拒绝H0其中。例4.2.1对某地区农村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进行测量，得样本数据如表4.2.1所示。根据以往资料，该地区城市2周岁男婴的这三个指标的均值μ0=(90,58,16)′，现欲在多元正态性假定下检验该地区农村男婴是否与城市男婴有相同的均值。这是假设检验问题：H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0表4.2.1某地区农村男

3、婴的体格测量数据编号身高(cm)胸围(cm)上半臂围(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160.815.568459.514.0查表得F0.01(3,3)=29.5，于是故在显著性水平α=0.01下，拒绝原假设H0，即认为农村与城市的2周岁男婴上述三个指标的均值有显著差异(p=0.002)。二、置信区域μ的置信度为1−α的置信区域为当p=1时，它是一个区间；当p=2时，它是一个椭圆，这时可将其在坐标平面上画出；当p=3时，它是一个

4、椭球；当p＞3时，它是一个超椭球；它们均以为中心。同置信区间与假设检验的关系一样，置信区域与假设检验之间也有着同样的密切关系。一般来说，μ0包含在上述置信区域内，当且仅当原假设H0：μ=μ0在显著性水平α下被接受。因此，可以通过构造的置信区域的方法来进行假设检验。三、联合置信区间即以1−α的概率对一切a∈Rp成立，称它为一切线性组合｛a′μ，a∈Rp｝的置信度为1−α的联合置信区间（simultaneousconfidenceintervals）。对k个线性组合｛ai′μ，i=1,2,⋯,k｝，

5、有当k很小时，联合T2置信区间的置信度一般会明显地大于1−α，因而上述区间会显得过宽，即精确度明显偏低。这时，我们可以考虑采用邦弗伦尼（Bonferroni）联合置信区间：它的置信度至少为1−α。若tα/2k(n−1)≤Tα，则邦弗伦尼区间比T2区间要窄，这时宜采用前者作为联合置信区间；反之，若tα/2k(n−1)>Tα，则邦弗伦尼区间比T2区间宽，宜采用后者作为联合置信区间。当k=p时，邦弗伦尼区间要比T2区间窄。故在求μ的所有p个分量μ1,μ2,⋯,μp的联合置信区间时，应采用邦弗伦尼区间。

6、例4.2.2为评估某职业培训中心的教学效果，随机抽取8名受训者，进行甲和乙两个项目的测试，其数据列于表4.2.2。假定x=(x1,x2)′服从二元正态分布。n=8,p=2，取1−α=0.90，F0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10=2.841。表4.2.2两个项目的测试成绩编号12345678甲项成绩x16280668475805479乙项成绩x27077758787916184μ的0.90置信区域为即0.0436×(μ1−72.5)2−0.0812×(μ1−72.5)(μ2−79)+

7、0.0475×(μ2−79)2≤1.009这是一个椭圆区域。μ1和μ2的0.90联合T2置信区间为即61.84≤μ1≤83.16，68.80≤μ2≤89.20这两个区间分别正是椭圆在μ1轴和μ2轴上的投影。μ1和μ2的0.90邦弗伦尼联合置信区间为（t0.025(7)=2.3646）即63.63≤μ1≤81.37，70.51≤μ2≤87.49这个联合置信区间在精确度方面要好于T2联合置信区间。由该联合置信区间可得到置信度至少为0.90的矩形置信区域（见图4.2.1中的实线矩形），但其矩形面积要大

8、于椭圆面积。图4.2.1置信椭圆和联合置信区间利用置信区域进行假设检验在例4.2.2中，如果在α=0.10下对假设H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0进行检验，其中μ=(μ1,μ2)′，μ0=(μ01,μ02)′，则我们容易利用图4.2.1中的椭圆得出检验的结果。若被检验值μ0位于图4.2.1中的椭圆外，则拒绝；反之，则接受。图4.2.1中的虚线矩形在μ1和μ2轴上的区间范围分别是μ1和μ2的0.90置信区间。当μ0位于椭圆外虚线矩形内的位置（如图中A点）时，检验结果虽拒绝H0，但如在α=0.10下分