讲义_直线和圆位置关系

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1、.板块考试要求A级要求B级要求C级要求直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间关系；会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定1、设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离_l_O_d_r直线与圆没有公共点．直线与相离相切_l_O_d_r直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫

2、做切点．直线与相切相交_l_O_d_r直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．直线与相交从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：直线和圆的位置关系相交相切相离公共点个数圆心到直线的距离与半径的关系公共点名称交点切点无直线名称割线切线无......二、切线的性质及判定1．切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．切线的判定：定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端

3、并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．切线长和切线长定理：⑴切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．①切线的判定定理设OA为⊙O的半径，过半径外端A作⊥OA，则O到的距离d=r，∴与⊙O相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．_O_A_l注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足

4、题设的一个条件不是⊙O的切线．_l_A_O_A_O_l证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上②切线的性质定理及其推论切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．定理：①过圆心，过切点垂直于切线过圆心，过切点，则②经过圆心，垂直于切线过切点③经过切点，垂直于切线过圆心_T_O_A我们分析：这个_T_M_O_B_A定理共有三个条件：一条直线满足：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心......三、三角形内切圆1．定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角

5、形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．2．多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．3．直角三角形的内切圆半径与三边关系_O_F_E_D_C_B_A_C_B_A_C_B_A_c_b_a_c_b_a（1）（2）图（1）中，设分别为中的对边，面积为则内切圆半径（1），其中；图（2）中，，则四、典例分析：切线的性质及判定【例1】如图，是的直径，点在的延长线上，过点作的切线，切点为，若，则______．例1例2巩固【例2】如图，直线与相切于点，的半径为，若，则的长为()A．B．C．D．【巩固】如

6、图，与相切于点，线段与弦垂直于点，，，则切线．_A_C_D_B_O【例3】如图，若的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，且的半径为2，则的长为（）......A．B．C．2D．4例2巩固【巩固】如图，为半圆的直径，点在的延长线上，切半圆于点，于点，，半圆的半径为，则的长为_______________．_O_D_C_B_A_O_D_C_B_A【例1】如图，已知以直角梯形的腰为直径的半圆与梯形上底、下底以及腰均相切，切点分别是．求证：以为直径的圆与相切．例4巩固【巩固】如图，已知以直角梯形中，以为直径的圆与相切，求证：以为直径的圆与

7、相切．_E_A_C_O_B【例2】已知：如图，在中，，以为直径的半圆与边相交于点，切线，垂足为点．求证：（1）是等边三角形；（2）．【巩固】如图，切于点，直线交于点，弦，求证：．【例3】如图，中，，是的中点，以为圆心的圆与相切于点。求证：是的切线。【例4】如图，已知是的直径，为的切线，切点为，平行于弦，。（1）求证：是的切线；（2）求的值；......（3）若，求CD的长。【巩固】如图，已知是的直径，是和相切于点的切线，过上点的直线，若且，则。【巩固】如图，AB是半圆（圆心为O）的直径，OD是半径，BM切半圆于B，OC与弦AD平行且交

8、BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线；（2）若AB长为4，点D在半圆上运动，设AD长为，点A到直线CD的距离为，试求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。【例1】如图，为的直径，是外一点，交于点，过点作的切线，