TI图形计算器对一个变换问题的研究.doc.doc

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1、TI图形计算器对一个变换问题的研究南京市第十二中学张小兵（210011）问题：设二阶矩阵（k∈R），(n为正整数)，其中，则序列有什么特点？该问题的几何意义是点反复经过矩阵A对应的变换作用下得到的迭代点列在直角坐标系中的分布有何规律？笔者采用TI-nspirecxCAS图形计算器这一问题进行了初步的研究，得到了一些有趣的结论。一．初步观察k先取几个简单的数值看看，利用TI图形计算器作出的散点图，初步观察得到如下结论：k=0时，迭代点列在四个点（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）间循环；k=1时，点列在六个点（1，0），（0，1），（-1，

2、1），（-1，0），（0，-1），（1，-1）间循环；k=-1时，点列在三个点（1，0），（0，1），（-1，-1）间循环；k=2时，点列位于一条直线上且趋向于无穷远；k=-2时，点列位于两条平行直线上且趋向于无穷远；时，点列位于一个椭圆上且相邻两点的连线也围成一个椭圆（如图1）；k=3时，点列相邻两点的连线呈一条折线状并趋向于无穷远。初步观察的结果令人兴奋，借助于TI图形计算器使我们更加容易地看到数学的美丽！图1二．理论思考k=0，1，-1的情形只要作简单的计算即可，对于k=2的情形，证明如下：由得，消去得即，所以数列{xn}为等差数列，由得，从而数

3、列{xn}的公差为，所以（n∈N），所以迭代点列位于直线上.时，迭代点列所在椭圆的方程是什么呢？在点列An中取前五个点（1，0），（0，1），（-1，0.5），（-0.5，-0.75），（0.75，-0.875），利用图形计算器作过五点的圆锥曲线功能拟合得到如图2所示的椭圆方程（*）.这个结果可以用数学归纳法得到证明.图2证明：n=0时，初始点（1，0）显然满足方程（*），若点满足方程（*），即，由得，因为所以点也满足方程（*），这就证明了当时，迭代点列都位于椭圆上.理论思考有助于认识现象背后的本质，TI图形计算器使数学发现变得更容易！三．更上层楼对于

4、不同的k，猜想迭代点列位于曲线上.k=0，±1，±2时容易证明上述猜想是成立的，对于其它情形，利用图形计算器作出曲线，并改变k的值可以从直观上验证上述猜想是成立的！（如图3），这个结论同样可用数学归纳法得到证明，此处从略。图3从特殊到一般是人类认识事物的普遍规律，TI图形计算器可帮我们快速作出判断！随时检验我们的猜想.四．豁然开朗当k取不同的值时，方程表示什么曲线？用TI图形计算器分析出该曲线的对称轴为y=±x，由此我们对上述曲线作绕原点按逆时针方向旋转45O的旋转变换，令点P是曲线上任意一点，变换后的点为由，得解得代入方程，化简整理得到方程（**）（

5、1）k=0时，方程（**）表示单位圆；（2）k=±2时，方程（**）表示两条平行直线；（3）当-22时，方程（**）表示双曲线.至此，原先的问题已经得到圆满解决，TI图形计算器功不可没！五．又一问题点列中的横、纵坐标的通项公式如何求得？以k=为例，由得，消去得其特征方程为，解得令代入初始条件得，解得，从而（n∈N）上面的xn可用图形计算器进行检验（如图4）图4对于其它k的取值，只要按上述方法求出相关递推数列的通项即可，TI图形计算器可以帮助我们检验所求得的结果的可靠性！五．新的问题若点在矩

6、阵经过m（m≥3，m∈N）次相同变换后又回到原来的位置，则k应该如何取值？这相当于解方程，利用图形计算器可以得到下面的结果（如图5）：图5依次连结这m个点得到的图形也很有趣：（1）m=3时，三个点构成一个等腰三角形；（2）m=4时四个点恰好构成一个正方形；（3）m=5时k出现了两个不同的值，五个点可以构成一个五边形或五角星（如图6）；图6（4）m=6时，k有两个值，其中k=-1时就是m=3时循环2次，k=1时，六个点构成一个六边形；（1）m=7时，k有三个值，相应的七个点构成两种七角星或七边形(如图7)；......图7数学中从来不缺乏问题，而是缺乏发

7、现问题的眼光，带CAS（ComputerAlgebraSystem，计算机代数系统之意）功能的TI图形计算器为数学问题的研究插上了翅膀！七．永无止境旧的问题得到了解决，新的问题层出不穷。如当-2