“尚未成功”的突破的论文

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1、“尚未成功”的突破的论文  坦率说,在我个人的解题经历中,“尚未成功”乃至失败,实在是比激动人心的成功多得多.但是,“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果,而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”(见文[1]、[2]),我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助,但我能肯定地说,这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产,并且我的看法(包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书)已引起了一部分同行的关注与共鸣,需要致歉的是,二三年来,关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复,今天的话题很大程度上是一种有意的弥补.下面,笔者

2、要进行3个解题个案的分析,以展示如何由失败走向成功,又如何对浅层的成功进行深层的调控.  1.个案1—由失败中获取有用的信息  例1 若a、b、c为互不相等的实数,且x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x+y+z.  解:由等比定理得x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)①       =(x+y+z)/[(a-b)+(b-c)+(c-a)].②  但是,②式的分母为零(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,③  我们的解题努力失败了.  评析:这是一个失败的解题案例,文[3]谈到了调整解题方向后的一些处理,其实都用到③式.所以,失败的过程恰好显化了

3、题目的一个隐含条件,这是一个积极的收获,当我们将不成功的②式去掉,把目光同时注视①式与③式时,①式使我们看到了两条直线重合:xx+yy+z=0,④(a-b)x+(b-c)y+(c-a)=0.⑤  而③式又使我们看到了直线⑤通过点x=1,y=1. 作一步推理,直线④也通过点(1,1),于是x+y+z=0.  与文[3]相比,这是一个不无新意的解法,其诞生有赖于两点:  第1,从失败的解题中获取一条有用的信息,即③式.  第2,对①式、③式都作“着眼点的转移”,从解析几何的角度去看它们.  有了这两步,剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成.  2.个案2—尚未成功不等于

4、失败  设f(n)为关于n的正项递增数列,m为大于f(1)的正常数,当用数学归纳法来证不等式f(n)<m(n∈n)①时,其第2步会出现这样的情况:假设f(k)<m,则f(k+1)=f(k)+a(a=f(k+1)-f(k)>0)<m+a,②无法推出f(k+1)<m.  据此,许多人建议,用加强命题的办法来处理,还有人得出这样的命题(见文[4]p.32及文[5]p.12):  命题 设{f(n)}为关于n的正项递增数列,m为正常数,则不等式f(n)<m(n∈n)不能直接用数学归纳法证明.  评析:不等式①没能用递推式②证出来,有两种可能,其一是数学归纳法的功力不足,其二是数学

5、归纳法的使用不当.把“不会用”当作“不能用”,其损失是无法弥补的.  我们分析上述处理的“尚未成功”,关键在于递推式②,这促使我们思考:f(k+1)与f(k)之间难道只有一种递推关系吗?  确实,有的函数式其f(k+1)与f(k)之间的关系很复杂,无法用数学归纳法来直接证明;而有的关系则较简单,仅用加减乘除就可以表达出来.但无论是“很复杂”还是“较简单”,其表达式都未必惟一,文[6]p.278给出过一个反例,说明上述“命题”不真:  例2 用数学归纳法证明f(n)=1+(1/2)+(1/22)+…+(1/2n-1)<2.  讲解:当n=1时,命题显然成立.  现假设f(k

6、)<2,则  f(k+1)=f(k)+(1/2k)<2+(1/2k),由于2+(1/2k)恒大于2,所以数学归纳法证题尚未成功.  然而,这仅是“方法使用不当”.换一种递推方式,证明并不困难.  f(k+1)=1+(1/2)f(k)<1+(1/2)×2=2.  下面一个反例直接取自文[4]的例2.  例3 求证(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+…+(1/n!)<2.  证明:当n=1时,命题显然成立.  假设n=k时命题成立,则  (1/1!)+(1/2!)+…+(1/k!)+[1/(k+1)!] =1+(1/2)+(1/3)·(1/2!)+…+(1/k)·[1/

7、(k-1)!]+[1/(k+1)]·(1/k!)<1+(1/2){1+(1/2!)+…+[1/(k-1)!]+(1/k!)}<1+(1/2)×2=2.  这表明n=k+1时命题成立.  由数学归纳法知,不等式已获证.  3.个案3—对尚未成功的环节继续反思  文[7]有很好的立意也有很好的标题,叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”,它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程:  例4 二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤(x2+1)/2①对一切实

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