普通高等学校招生全国统一考试数学试题文(山东卷-含解析)

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绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文山东卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).【试卷点评】【命题特点】2017年山东高考数学试卷,试卷结构总体保持了传统的命题风格,以能力立意,注重考查考生的基础知识、基本技能和基本数学素养,符合考试说明的各项要求,贴近中学教学实际,是一份知识与能力完美融合、传统与创新和谐统一的优秀试卷.试题的顺序编排,遵循由易到难,基本符合学生由易到难的答题习惯.从命题内容来看,既突出热点内容的年年考查,又注意了非热点内容的考查,对教学工作有较好的导向性.同以往相比,今年对直线与圆没有独立的考题,而在压轴题的圆锥曲线问题中有所涉及直线与圆的位置关系,对基本不等式有独立的考查,与往年突出考查等差数列不同,今年对此考查有所淡化.具体看还有以下特点：1.体现新课标理念,保持稳定,适度创新.试卷紧扣山东高考《考试说明》,重点内容重点考查,试题注重考查高中数学的基础知识,并以重点知识为主线组织全卷,在知识网络交汇处设计试题内容,且有适度难度.而对新增内容则重点考查基本概念、基础知识,难度不大.2.关注通性通法.试卷淡化了特殊的技巧,全面考查通性通法,体现了以知识为载体,以方法为依托,以能力考查为目的的命题要求.数学思想方法是数学的灵魂,是对数学知识最高层次的概括与提炼, 也是试卷考查的核心.通过命题精心设计,较好地考查了数形结合的思想、函数与方程的思想、转化与化归的数学思想.利用函数导数讨论函数的单调性、极值的过程,将分类与整合的思想挖掘得淋漓尽致.3.体现数学应用,关注社会生活.通过概率问题考查考生应用数学的能力,以学生都熟悉的内容为背景,体现试卷设计问题背景的公平性,对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向.【命题趋势】2018年起，山东将不再自主命题，综合全国卷特点，结合山东教学实际，预测2018年应特别关注：1.函数与导数知识：以导数知识为背景的函数问题，多与单调性相关；对具体函数的基本性质（奇偶性、周期性、函数图象、函数与方程）、分段函数及抽象函数的考查依然是重点.导数的几何意义与利用导数研究函数的性质的命题变换空间较大，直接求解问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，其难度应会保持在中档以上.2.三角函数与向量知识：三角函数将从三角函数的图象和性质、三角变换、解三角形等三个方面进行考查，预计在未来考卷中，三方面内容依然会轮流出现在小题、大题中，大题综合化的趋势不容忽视.向量具有数与形的双重性，并具有较强的工具性，从近几年命题看，高考中向量试题的命题趋向依然是考查平面向量的基本概念和运算律；考查平面向量的坐标运算；考查平面向量与几何、三角、代数等学科的综合性问题，其难度不会增大.3.不等式知识：突出工具性，淡化独立性，突出解不等式及不等式的应用是不等式命题的重要趋向之一.不等式的性质与指数函数、对数函数、三角函数、二次函数等结合起来，考查不等式的性质、最值、函数的单调性等；证明不等式的试题，多与导数、数列、解析几何等知识为背景，在知识网络的交汇处命题，综合性往往较强，能力要求较高；解不等式的试题，往往与集合、函数图象等相结合.4.数列知识：等差数列、等比数列的通项公式及求和公式，依然会是考查的重点.由于数列求和问题的求解策略较为模式化，因此，这方面的创新往往会在融入“和”与“通项”的关系方面，让考生从此探究数列特征，确定应对方法.少有可能会象浙江卷，将数列与不等式综合，作为压轴难题出现.5.立体几何知识：近几年的命题说明，通过垂直、平行位置关系的证明题，二面角等角的计算问题，综合考查考生的逻辑思维能力、推理论证能力以及计算能力，在这方面文科倾向于证明.6.解析几何知识：预计小题中考查直线与圆、双曲线及抛物线的标准方程和几何性质为主旋律，解答题考查椭圆及椭圆与直线的位置关系等综合性问题为主，考查抛物线及抛物线与直线的位置关系等综合性问题为辅，和导数一样，命题变换空间较大，面积问题、定点问题、定值问题、存在性问题、求参数问题等，因此，导数问题或圆锥曲线问题作为压轴题的地位难以变化.7.概率与统计知识：概率与统计知识较为繁杂，命题的难度伸缩性也较大，其中较多地考查基础知识、基本应用， 内容包括：古典概型、几何概型、茎叶图、平均数、中位数、变量的相关性、频率分布直方图（表）、假设性检验、回归分析等.试卷解析第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合则（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：由得,故,故选C.【考点】不等式的解法,集合的运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图．（2）已知i是虚数单位,若复数z满足,则=（A）-2i（B）2i（C）-2（D）2【答案】A【解析】【考点】复数的运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i,＝－i.（3）已知x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D 【解析】【考点】线性规划【名师点睛】(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点，并代入不等式(组)．若满足不等式(组),则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域.当不等式中带等号时,边界为实线；不带等号时,边界应画为虚线,特殊点常取原点.(2)利用线性规划求目标函数最值的步骤：①画出约束条件对应的可行域；②将目标函数视为动直线,并将其平移经过可行域,找到最优解；③将最优解代入目标函数,求出最大值或最小值．（4）已知,则（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】 试题分析：由得,故选D.【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．（5）已知命题p：;命题q：若,则a0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间．(2)根据函数单调性确定参数范围的方法：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集．②转化为不等式的恒成立问题,即转化为“若函数单调递增,则f′(x)≥0；若函数单调递减,则f′(x)≤0”来求解．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）已知向量a=（2,6）,b=,若,则.【答案】【解析】试题分析：由可得【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.（12）若直线过点（1,2）,则2a+b的最小值为.【答案】【解析】【考点】基本不等式【名师点睛】应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值, “三相等”是指满足等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式．（13）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为.【答案】【解析】试题分析：由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为2,1,1,圆柱的高为1,底面圆半径为1,所以.【考点】三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽相等”的原则.(2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,复杂的几何体也是由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整体；③综合起来,定整体．（14）已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.【答案】【解析】【考点】函数奇偶性与周期性【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法：①已知函数的奇偶性,求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．②已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式． ③已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值：常利用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．④应用奇偶性画图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．（15）在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.【答案】【解析】试题分析：由抛物线定义可得：,因为,所以渐近线方程为.【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质【名师点睛】若AB是抛物线的焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2)．则(1)y1y2＝－p2,x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．三、解答题：本大题共6小题,共75分.（16）(本小题满分12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.（Ⅰ）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（Ⅱ）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】 包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，所以所求事件的概率为：.【考点】古典概型【名师点睛】(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式P(A)＝求出事件A的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.（17）（本小题满分12分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,,求A和a.【答案】【解析】 又，所以.由余弦定理，得，所以.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．（18）（本小题满分12分）由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.（Ⅰ）证明：∥平面B1CD1;（Ⅱ）设M是OD的中点,证明：平面A1EM平面B1CD1. 【答案】（Ⅰ）证明见解析.（Ⅱ）证明见解析.【解析】所以平面.（Ⅱ）因为,，分别为和的中点,所以,又平面,平面,所以 【考点】空间中的线面位置关系【名师点睛】证明线面平行时,先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行,若找不到这样的直线,可以考虑通过面面平行来推导线面平行,应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行．（19）（本小题满分12分）已知是各项均为正数的等比数列,且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知,求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）列出关于的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设的公比为，由题意知：.又，解得：，所以.（Ⅱ）由题意知：， 又【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．（20）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）当a=2时,求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意， 所以，当时，，，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增； 有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．（21）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求EDF的最小值. 【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的最小值为.【解析】又当时，，得，所以，因此椭圆方程为.（Ⅱ）设，联立方程， 得，由得.（*）且，令，故，所以.令，所以.当时，,从而在上单调递增，因此，等号当且仅当时成立，此时，所以， 【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．常见解法：①几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．