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1、第七章 水文频率计算水文频率计算§7－1概述§7－2参数点估计的矩法和极大似然法§7－3P-Ⅲ型分布参数的估计§7－4估计量好坏的评判标准§7－5参数的区间估计从前面的学习中可以看出，随机变量的分布函数常常含有一些参数，因此，如果只知道某一随机变量的分布函数的形式，而不知道其中的参数，仍然是无法计算概率的。此外，在许多场合，即使不知道总体的分布函数，如果能知道它的数学期望、方差等数字特征，也就掌握了随机变量的主要统计特性了。如何根据随机变量的样本，采用适当的方法，对总体分布中的未知参数或数字特征作
2、出估计，这就是参数估计问题。§7－1概述参数估计有两种常用的形式，即点估计和区间估计点估计所谓点估计就是用一个具体的数值去估计一个未知的参数。参数的区间估计所谓区间估计就是估计参数所在的区间，也就是说用一个区间估计未知参数。§7－2参数点估计的矩法和极大似然法点估计的一般提法参数点估计的矩法参数点估计的极大似然法点估计的一般提法求未知参数点估计的方法很多,本书介绍最重要和最常用的矩法和极大似然法,以及我国水文计算中广泛使用的适线法。矩法用样本矩来估计总体矩，用样本矩的函数来估计总体矩的函数。设总体的
3、分布函数为F(x;u01,u02,…,u0l)，则X的k阶原点矩E(Xk)(或k阶中心距μk)是参数u01,u02,…,u0l的函数，记vk=E(Xk)=gk(u01,…,u02,u0l)从方程组可解出以后在不造成混淆的情况下，随机变量与普通变量不再严格按大小写作区分。矩法例题例：设（X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本，求总体的均值a,及方差σ2的矩估计。解：这题虽然未给出总体的分布，但并不妨碍问题的解决。因为我们知道a=v1σ2=μ2一阶原点矩：二阶中心矩：例：设总体X服从指数分布，其分布密
4、度为其中为未知参数，现有X的一组样本值：0.17，0.05，0.15，0.06，0.28，0.05，试求的距估计量和矩估计值。解：首先要找出未知参数与总体分布的矩的关系。已知所以按矩估计法，的估计量为根据样本，求得，所以的估计值为例：设总体X在[a,b]区间上服从均匀分布，求a,b的矩估计量。解：X的分布密度为因为:由此可解得：因此，a，b的矩估计量为:例:求相关系数的矩估计量解首先用样本相关矩作为总体相关矩的矩估计量式中再利用例1结果,可得到相关系数的估计量类似地,可以得到总体变差系数CV,偏态系
5、数CS的矩估计量,即参数点估计的极大似然法由经验可知，若某项试验有多种可能的结果，它们发生的概率各不相同，那么在一次试验之前，可以合理地认为发生概率最大的那个事件将要发生；反之，如果在一次试验中，某个事件发生了，那么认为在诸事件中，该事件发生的概率为最大也是合理的。极大似然法就是根据这样的经验提出的。通常把这种思想称为极大似然原理。极大似然函数（连续型随机变量）对于连续型的总体X，设它的密度函数为f(x；u01,u02,…,u0l)，其中u01,u02,…,u0l为待估计的未知参数,X1,X2,…,
6、Xn是X的样本，则X1,X2,…,Xn的联合密度为：极大似然函数（离散型随机变量）对于离散型的总体X，设它的分布律为P（X=xi）=p(xi；u01,u02,…,u0l)极大似然法基本思想极大似然法：根据极大似然原理,应该认为作为n元随机变量的样本X1,X2,…,Xn的取值在（x1,x2,…,xn)邻域内的概率较大，或者说X1,X2,…,Xn取得x1,x2,…,xn这一组数值的概率密度比它取得其他数值的概率密度要大。而这就等价于似然函数L在已知样本值x1,x2,…,xn处的值比较大，而对似然函数而言
7、，x1,x2,…,xn是常数，似然函数L是参数的函数，因而可以将使L取得极大值时的参数值作为参数估计值。似然方程如下：由如下似然方程求出估计参数：由于lnL与L同时达到极大值,为便于计算,可求解方程组例：设（X1,X2,…,Xn)为正态总体X的一个样本，求总体的均值a及方差σ2的极大似然估计。解：似然函数为得例：设总体X的密度函数为其中为未知参数，设x1,x2,…，xn为X的样本，试求的矩估计和极大似然估计。解：矩估计，因为因此的估计值为所以极大似然估计，似然函数为于是似然方程为：解得：由此例可见，
8、矩法与极大似然法求得的结果一般是不同的。矩法和极大似然法优缺点比较矩法的一个优点是寻求总体数学期望、方差、变差系数、偏差系数等的估计量时无须知道随机变量的分布函数，而应用极大似然法时必须知道总体的概率分布，但是极大似然估计量的性质要比矩估计量好。在数理统计中，极大似然法被认为是最好的方法。但极大似然法用于估计P－Ⅲ型分布参数时，需要试算，而且有时似然方程无解，因此，在我国水文计算工作中并不常用。对P－Ⅲ分布，我国常采用适线法估计其参数。§7－3P-Ⅲ型分布参数的估计P
