《二元函数极限》ppt课件

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1、§2二元函数极限一、二元函数极限1.二元函数极限定义问题:1)极限定义中为什么要求P0为D的聚点；2)P属于P0的邻域与D的交集之意；3)极限与定义域D有关吗?4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).定义1设为定义在上的二元函数,为的聚点,为一实数.若使当时,恒有则称在上当时,以A为极限,记作定义1设为定义在上的二元函数,为的聚点,为一实数.若使当时,恒有则称在上当时,以A为极限,记作1)要求P0为D的聚点,保证能让2)P属于P0的邻域与D的交,保证P始终在f的定义域中;3)二重极限是相对一定的D而言的(意即相对

2、不同的D其可能不同);4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).定义1-1使当时,恒有4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式).定义1-2使当时,恒有定义1-3使当或时,恒有2.用定义证明极限基本思路:根据找使当或时,有找的方法:逐次放大出与的线性组合或含因子的式子例1依定义证明：分析：逐次放大出====例1依定义证明：====≤问题转化为：如何将放大为常数？可以对进行常数限制，从而可以把放大为常数所以，当时，≤≤只要即例2设分析：===≤=只要：故3.P→P0的任意性定理16.5对于D的

3、任一子集E,只要P0是E的聚点,就有意义:如果则无论动点P以任何方式趋于P0,其极限都是A.推论1只要能找到一种方式的极限不存在,则极限就不存在.推论2≠推论2例4讨论在(0,0)的极限.解:当动点(x,y)沿任何直线趋于(0,0)时,f(x,y)的极限为0当动点(x,y)沿抛物线趋于(0,0)时,f(x,y)的极限为1.故f(x,y)在(0,0)的极限不存在.★沿着任何直线的极限存在,二重极限不一定存在.注：取动点P趋于P0的不同形式，以说明二元函数极限的不存在，是与一元函数极限的重要区别。4.其它极限形式定义2其它极限形式:例5设证明证

4、:要证:把具体化:因为对任给正数M，取当时，有而进而5.二重极限的性质（1）极限存在的唯一性。若函数f(x,y)在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的.（2）极限存在的的局部保号性。且A>0,（3）极限存在的局部有界性。（4）极限的运算性质。（5）两边夹法则6.二重极限的计算(1)利用极限定义证明极限例1证明:证明:因为所以故要使只要取于是当即便有故(2)利用极限运算的运算法则例2解:因为所以故(3)利用极坐标变换求极限例3解:令则=0(4)利用二个重要极限求极限.例4求极限解:(1)因为而所以=0(4)利用二个重要极限求极限.例4求

5、极限(5)利用两边夹法则例5求极限解:(不妨设令故=0由两边夹法则,得=0二、累次极限问题:1.的定义中,是实数集还是平面点集?为何意?2.对与有何要求?是否要求在有定义?3.的定义中,中的是否可取4.能否用累次极限求二重极限?5.两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在?6.二重极限存在,是否累次极限就一定存在?7.两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在?8.一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在?二、累次极限称为函数在的二重极限.1.累次极限定义3设是的聚点,是的聚点,在上有定义.若对每个极限存在,设若极限则

6、称L为先对后对的累次极限,记作或类似可定义例求下次函数在(0,0)的累次极限:解(1)(两个累次极限存在且相等）二重极限存在吗?(2)两个累次极限存在但不相等二重极限存在吗?2.累次极限与重极限没有必然的联系例6(两个累次极限存在且相等）但二重极限不存在!例7两个累次极限存在但不相等同时二重极限不存在!例7两个累次极限存在但不相等同时二重极限不存在!事实上,沿着直线y=kx的极限所以不存在.例8设(1)是否存在?(2)是否存在?(3)是否存在?解(1)不存在.(2)不存在.(3)3.当二重极限与累次极限都存在时定理16.6若在点二重极限与累

7、次极限都存在,则若二重极限和累次极限都存在,则它们必相等.证:设则有(2)由题设,可假设对任一满足不等式(3)的x,有(4)对(2)式,令得结合(3)式,得即=A推论1若在点二重极限与累次极限都存在,则三者相等.推论2若累次极限存在但不相等,则二重极限不存在.(常用来证明极限不存在)例9讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限.解:(1)所以不存在.(2)但(x,y)沿x=0趋于(0,0)时,f(x,y)的极限为0,故f(x,y)在(0,0)的二重极限不存在.例9讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限.解:(3)=0,=0;但

8、不存在所以不存在.(4)=0,但与都不存在.