二元函数的极限教学课件

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1、二元函数的极限第一节第八章和连续性一、多元函数的极限二、多元函数的连续性1、一元函数极限的定义，记号复习:2、一元函数连续的定义一、二元函数的极限定义.设函数时,相应的函数值无限趋于一个确定的常数A,当记作：的某空心邻域内有定义,如果点以任何方式无限趋于点机动目录上页下页返回结束在点P0P0则称A为函数时的极限.（1）的路径是任意的；（2）上面介绍的极限也称为二重极限；（3）一元函数的极限性质在这里亦成立．注意：（4）用极限定义计算多元函数的极限及证明极限的存在比较麻烦，不作要求。若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于

2、点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例1.讨论函数函数机动目录上页下页返回结束仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束二、二元函数的连续性定义.设二元函数如果函数在定义域D上各点处都连续,则称此函数在,如果否则称为不连续,称为间断点.元函数机动目录上页下页返回结束D上连续.处连续,在点P0邻域内有定义,且的某存在,则称二在点P0例如,函数在

3、点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：（1）若f(x,y)在有界闭域D上连续,则该函机动目录上页下页返回结束在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)数是有界函数。解:原式例2.求例3.求函数的连续域.解:机动目录上页下页返回结束1.多元函数的极限2.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在

4、定义区域内连续机动目录上页下页返回结束内容小结课外作业：P165.31.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得机动目录上页下页返回结束备用题：