审核牟必继主备张正勇

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1、审核：牟必继主备：张正勇3.2.3立体几何中的向量方法——距离问题含泪播种的人一定能含笑收获向量法求空间距离的求解方法1.空间中的距离主要有:两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、平行平面的距离、异面直线间的距离.其中直线到平面的距离、平行平面的距离都可以转化点到平面的距离.2.空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的角为，则点P到平面的距离

2、nAPOBAaMNnab4.异面直线的距离:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为例1如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？A1B1C1D1ABCD图1解：如图1，所以答:这个晶体的对角线AC1的长是棱长的倍。练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上有A

3、、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解1练习.(P107.2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB＝4,AC＝6，BD＝8，求CD的长.BACD解2例2如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离.点E到直线A1B的距离为例如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距

4、离.解2：定义法例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.等体积法解2例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求D1C到面A1BE的距离.解1:∵D1C∥面A1BE∴D1到面A1BE的距离即为D1C到面A1BE的距离.仿上例求得D1C到面A1BE的距离为例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点

5、，求D1C到面A1BE的距离.等体积法解2例5如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.解1:∵面D1CB1∥面A1BD∴D1到面A1BD的距离即为面D1CB1到面A1BD的距离例5如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.等体积法解2例6如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离.小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，

6、完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。补充作业：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。GBDACEFxyz用坐标法解决立体几何中问题的一般步骤:1.建立适当的空间直角坐标系；2.写出相关点的坐标及向量的坐标；3.进行相关的计算；4写出几何意义下的结论.小结利用空间向量解决立体几何中的问题

7、,首先要探索如何用空间向量来表示点、直线、平面在空间的位置以及它们的关系.即建立立体图形与向量之间的联系,这样就可以将立体几何问题转化成空间向量的问题.解决立体几何中的问题,有三种常用方法:综合方法、向量方法、坐标方法,对具体问题要会选用合适得方法.作业P113A组1112B组12