函数的极限与连续教学

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1、第一章　函数的极限与连续本章主要内容§1.1函数的概念§1.2函数的特性§1.3反函数§1.4基本初等函数§1.5复合函数、初等函数*§1.6函数关系应用举例2本章主要内容§1.7数列的极限§1.8函数的极限§1.9无穷小量与无穷大量§1.10极限的运算法则§1.11两个重要极限§1.12函数的连续性3学习目标理解函数的概念、函数的特性；了解反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；了解数列与函数极限的描述性定义；左、右极限的概念；无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质；对无穷小

2、进行比较；掌握极限四则运算法则；应用两个重要极限求极限；无穷小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；间断点的类型；求连续函数和分段函数的极限.41.1函数的概念1.常量与变量在自然现象或科学试验等过程中，经常会遇到两种不同的量：一种量在过程中不发生变化而保持一定的数值，这种量称为常量(或常数)；另一种量在过程中可以取不同的数值，这种量称为变量.如冰化成水的过程中，所吸收的热量、与温度、时间等是变量。通常用字母α，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．52

3、.区间与邻域对于某个实际问题来说，一个变量只能在一定的范围内取值．变量的取值范围通常用区间表示．区间分为闭区间、开区间、半开半闭区间、无穷区间等。67在区间定义的基础上，如图，我们把开区间(α-δ,α+δ)(δ>0)叫作点α的δ邻域，α叫作邻域的中心，δ叫作邻域的半径．83．函数的概念定义1设x,y是两个变量，D是一个实数集．如果对于D内的每一个数x，按照某个对应法则，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作.x叫作自变量，y叫作因变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域.

4、当取数值时，与相对应的的值叫作函数在点处的函数值，记作或.函数所有函数值的集合叫作函数的值域．9求例3求下列函数的定义域.（1）(2)y=（1）所以定义域为解例2设函数10解（2）要使函数有意义，必须同时满足：分母不为零且偶次根式的被开方式非负，反正弦函数符号内的式子绝对值小于或等于1。解出故不等式组的解为.因此，该函数的定义域为11例4已知函数的定义域是求的定义域例5判断下列各对函数是否相同.(1)(2)12求函数的定义域时应遵守以下原则：(1)代数式中分母不能为零；(2)偶次根式内表达式非负

5、；(3)对数中真数表达式大于零；(4)反三角函数要根据各自的定义域；(5)两函数代数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(6)对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义.134.函数的图像14两个常用的函数(1)符号函数1-1xyo5.分段函数15(2)取整函数y=[x],[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo161.2函数的特性1.函数的单调性单调增加函数、单调减少函数、单调区间17例1yxox182．函数的奇偶性定义1yxox-x19

6、定义2202.函数的奇偶性奇函数：奇函数的图象关于原点对称.偶函数：偶函数的图象关于y轴对称．例判断下列函数的奇偶性(2)(4)(1)(3)213.函数的有界性定义3224.函数的周期性定义323定义1.3反函数24反函数存在定理定理251.4基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．261、幂函数272、指数函数283、对数函数294、三角函数正弦函数30余弦函数31正切函数余切函数325.反三角函数定义1单

7、调增加、有界、奇函数33例1求下列各式的值：解34一般地，由反正弦函数的定义，可以得到例2求下列各式的值：解35定义2单调减少、有界函数36例3求下列各式的值：解一般地，由反余弦函数的定义，可以得到37例4求下列各式的值：解38定义3单调增加、有界、奇函数39定义4单调减少、有界函数40例5求下列各式的值：解411.5复合函数、初等函数1.复合函数的定义42例1写出下列函数的复合函数：注意并非任意两个函数都可复合成一个复合函数.例2指出下列复合函数的复合过程：43例3求下列函数的定义域和值域：解

8、44例4解例5解452、初等函数的定义由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合而成的函数,叫作初等函数.注意分段函数不一定是初等函数.461.7数列的极限定义1按照一定顺序排成的一列数，叫作数列.组成数列的每个数都叫作这个数列的项.47例如48定义2例1观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解4950一般地，有下述结论：例2观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解51定理1例如有界无界52定理2注意例如　　数列531.8函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限54定义1定义255