一元三次方程求根公式

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1、``盛金公式　　三次方程新解法——盛金公式解题法　　三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a 、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别 法。　　盛金公式（Shengjin'sFormulas）　　一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。　　重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd，　　总判别式：Δ=B^2－4AC。　　 当A=B=0时，盛金公式①：　　X1=X2=X3=－b/(

2、3a)=－c/b=－3d/c。　　 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②：　　X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)；　　 X2，X3=(－2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))i/(6a)，　　 其中Y1，Y2=Ab+3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。　　当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③：　　X1=－b/a+K；X2=X3=－K/2，　　 其中K=B/A，(A≠0)。　　当Δ=B^2－4AC<0时，盛金公式④：　　 X1=(－b－2A

3、^(1/2)cos(θ/3))/(3a)；　　X2，X3=(－b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)，　　其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，－10时，方程有一个实根和一对共轭虚根；　　③当Δ=B^2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根；　　 ④当Δ=B^2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。编辑本段盛金定

4、理　　盛金定理（Shengjin'sTheorems）　　当b=0，c=0时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A≤0时，盛金公 式④无意义；当T<-1或T>1时，盛金公式④无意义。　　当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值 ？盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值？盛金定理给出如下回答：　　 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金 公式①仍成立）。　　盛金定理2：当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0（此时,适用盛金公式①解题）。　　 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C

5、=0（此时,适用盛金公式①解题）。　　 盛金定理4：当A=0时，若B≠0，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。　　 盛金定理5：当A<0时，则必定有Δ>0（此时，适用盛金公式②解题）。　　 盛金定理6：当Δ=0时，若A=0，则必定有B=0（此时，适用盛金公式①解题）。　　 `````盛金定理7：当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值（此时，适用盛金公式 ③解题）。　　盛金定理8：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。（此时，适用盛金公式④解`````题）。　　盛金定理9：当Δ<0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1

6、　显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。　　注意：盛金定理逆之不一定成立。如：当Δ>0时，不一定有A<0。　　盛金定理表明：盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。　　当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高；盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2－4AC也是最简明的式子（是非常美妙的式子），其形状与 一元二次方程的根的判别式相同；盛金公式②中的式

7、子(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。　　以上结论，发表在《海南师范学院学报（自然科学版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中 国海南。国内统一刊号：CN46-1014），第91—98页。范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。（NATURALSCIENCE JOURNALOFHAINANTEACHERESCOLLEGE,HainanProvinc