一元三次方程求根公式完整推导过程.pdf

《一元三次方程求根公式完整推导过程.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、32一元三次方程ax+bx+cx+da=¹00()的解法先把方程323ax+bx+cx+d=0化为x+px+q=0的形式：b令x=y-，则原式变成3ab3b2b原式Ûa(y-)+b(y-)+c(y-)+d=03a3a3a22323bybyb22bybbÛa(y-+-)+b(y-+)+c(y-)+d=0232a3a27a3a9a3a232332bb22bbbcÛay-by+y-+by-y++cy-+d=0223a27a3a9a3a233b2bbcÛay+(c-)y+(d+-)=023a27a3a23

2、3cbd2bbcÛy+(-)y+(+-)=0232a3aa27a3a233cbd2bbc如此一来二次项就不見了，化成y+py+q=0，其中p=-，q=+-。232a3aa27a3a对方程3y+py+q=0直接利用卡尔丹诺公式：2323qæqöæpöqæqpöæöy=33-+ç÷+ç÷+--+ç÷ç÷12è2øè3ø2è23øèø2323qæqöæpö2qæqpöæöy=ww×33-+ç÷+ç÷+×--+ç÷ç÷22è2øè3ø2è23øèø23232qæqöæpöqæqpöæö-+13iy=ww×

3、33-+ç÷+ç÷+×--+ç÷ç÷其中w=。32è2øè3ø2è23øèø223æqpöæöD=+ç÷ç÷是根的判别式：Δ＞0时、有一个实根两个共轭虚根；è23øèøΔ＝0时、有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时、有三不等实根。13三次方程求根公式的推导过程y+py+q=0(1)不妨设p、q均不为零，令y=+uv(2)33代入(1)得，u+v+(u+v)(3uv+p)+q=0(3)3ìpì33pïuv=-ïuv=-选择uv、，使得í3即í27(4)ïu33+vq=-ïîu33+vq=-î

4、3332p故u、v关于t的一元二次方程t+qt-=0的两个根。2723æqpöæöq设，D=D=+ç÷ç÷，T=-，è23øèø2又记3u=wu，u=wu，其中u的一个立方根为u1，则另两个立方根为211321w1、w2为-1+3ii--13ww==;;1222以下分三种情形讨论：331)若33，u=T-D。D>0，即D>0时，则u、v均为实数，可求得u=T+D33取u1=T+D，v1=T-D，p在y=ui+vj，(i,j=1,2,3)组成的九个数中，有且只有下面三组满足uv=-，332p即u1、

5、v1；u2、v2；u3、v3，也就是满足u1v1=u2v2=u33v=TD-=-，3于是方程(1)的三个根为y1=+uv11，y2=+w1u1wv21，y2=+w2u1wv11，这时方程(1)有一个实根y1，两个共轭虚根y2，y3，其表达式就是前面给出的“卡3丹公式”的形式，这里的根式D及TD±都是在实数意义下的。3332)若D=0，即D=0时，可求得u==vT。取u11==vT，33故可求得y1=u11+v=24Tq=-；-34q3y2=y3=w1u1+w2v1=T(ww12+=)2方程(1)有

6、三个实根，其中至少有两个相等的实根。23æqpöæö3)若D<0，即D＜0时，因为ç÷+<ç÷0，故p<0，è23øèøu3、v3均为虚数，求出3333则u、v，并用三角式表示，就有u=T+-iD，v=T--iD，其中T，-D都是实数，223333322æqpöæö故虚数u、v模均为u=v=T+(-DD)=ç÷-=-ç÷è23øèøæöç÷q3-3æöpDç÷2-pp-3所以u=-ç÷ç÷33+ii=-+(cosaasin)èø39ç÷æppöæö--ç÷ç÷ç÷èøè33øèø3pp-3æö--

7、33qp同理vi=--(cosaasin)，其中a=arccosç÷且0<

8、ø33-3pæö22p++apav=wvi=-ç÷cossin3113èø33于是方程(1)得三个实根为y1=+uv11，y2=+uv22，y3=+uv33，故有具体表示出来就为：23-pay=-cos；133-3pæöaay=-+ç÷cos3sin；23èø33-3pæöaaæö--33qpy=--ç÷cos3sin；a=arccosç÷且0<