六招破解函数最值和巧用数形结合求参数问题

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1、WORD格式.可编辑六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)＝af(x)2＋bf(x)＋c(a≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1]　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．[解]　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2

2、＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.因为t≥2，所以f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．因为抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，所以当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a>2时，ymin＝f(a)＝a2－2.[点评]　利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与

3、定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2]　设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是________．[解析]　因为a，b∈R，a2＋2b2＝6，所以令a＝

4、cosα，b＝sinα，α∈R.则a＋b＝cosα＋sinα＝3sin(α＋φ)，所以a＋b的最小值是－3.[答案]　－3[点评]　在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R，这是由条件a，b∈R得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：技术资料.整理分享WORD格式.可编辑a2＋b2≥2ab(a，b为实数)，≥(a≥0，b≥0)，ab≤2≤(a，b为实数)．[例3]　函数f(x)＝

5、＋(0t＋≥4,0<－＋5≤1，≥9，所以f(x)的最小值为9.[答案]　9[点评]　利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值

6、问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4]　已知函数f(x)＝xlnx，则函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值为________．[解析]　因为f′(x)＝lnx＋1，所以当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．①当0

7、0

8、方法求函数最值的方法就是导数法．[例5]　函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析]　因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，易得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.[答案]　3　－17[点评]　(1)利用导数法求函数最值的三个