定积分的进一步应

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1、3.4定积分的进一步应用3.4.1平面图形的面积3.4.2立体的体积3.4.3平面曲线的弧长3.4.4变力沿直线所作的功3.4.5压力3.4.6引力3.4.7函数的平均值3.4.1平面图形的面积一、不规则图形的面积二、进一步练习一般地，求由区间[a,b]上的连续曲线y=f(x)、y=g(x)一、不规则图形的面积以及直线x=a、x=b围成的平面图形的面积，如图所示，用微元法分析如下．(1)任意一个小区间（其中x、）上的窄条为面积dS可以用底宽为dx，高度的窄条矩形的面积来近似计算，即面积微元为(2)以为被积表达

2、式，在区间上积分，得该平面图形的面积练习1[窗户面积]二、进一步的练习某一窗户的顶部设计为弓形，上方曲线为一抛物线，下方为直线，如图所示，求此弓形的面积．建立直角坐标系如图所示．解设此抛物线方程为，因它过点，所以即抛物线方程为此图形的面积实际上为由曲线与直线所围成图形的面积，面积微元为面积为(m２)所以窗户的面积为0.683m2．练习2[游泳池的表面面积]一个工程师正用CAD（computer-assisteddesigen计算机辅助设计）设计一游泳池，游泳池的表面是由曲线以及x=8围成的图形，如图所示，求此

3、游泳池的表面面积．解解联立方程组得两条曲线的左交点(0,0)，右交点的横坐标此游泳池的表面面积为=77.26（m２）大于8．于是，面积微元为3.4.2立体的体积一、平行截面面积为已知的立体的体积二、旋转体的体积三、进一步练习设一立体位于平面x=a、x=b（a

4、区间[a,b]上积分，得到该立体的体积二旋转体的体积(1)平面图形绕x轴旋转所成的立体的体积由连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体，如图所示．它被任意一个垂直于x轴的平面所截，得到的截面为以f(x)为半径的圆，其面积为故所求旋转体的体积为(2)绕y轴旋转所成的立体的体积y=d以及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为、直线y=c、由连续曲线练习1[喇叭体积]三、进一步的练习的图形绕x轴旋转所成的旋转体，如图所示．一喇叭可视为由曲线直线x=1

5、以及x轴所围成求此旋转体的体积．解在[0,1]上任取一点x，此旋转体的体积微元可近似地视为以f(x)为半径的圆为底（即以面积为的圆为底）的柱体，从而体积微元为所求旋转体的体积V为练习2[机器底座的体积]某人正在用计算机设计一台机器的底座，它在第一、以及x轴、y轴围成，象限的图形由底座由此图形绕y轴旋转一周而成，如图所示．试求此底座的体积．解以及y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的所求体积为此图形实为由曲线与直线y=2、y=0旋转体．体积微元为3.4.3平面曲线的弧长一、弧长的计算二、进一步练习曲线y=f(x

6、)相应于[a,b]上的任一微小区间一、弧长的计算的长度ds来近似代替，所以弧长微元(即弧微分)为所求弧长为的一小段弧的长度，可以用该曲线在点（x,f(x)）处的切线上相应的一小段练习1[运动路程]二、进一步的练习（t的单位：s；s的单位：m）．求它从时刻t=0s到解已知一物体的运动规律为时刻t=1s所移动的距离．物体的运动规律由参数方程给出，随着时间t的变化，物体运动的轨迹是一条曲线．此问题事实上是求该曲线从t=0s到t=1s的一段弧长．由参数方程下弧长的计算公式，得练习2[悬链线长度]悬链线，它表示的是一悬

7、挂在空中的线缆的形状，下图所示的函数为，这一函数称作求此悬链线位于x=-1和x=1之间的长度．由式弧长的计算公式，得解利用对称性，得3.4.4变力沿直线所做的功一、功的计算二、进一步练习由物理学知道，物体受常力F作用沿力的方向移动一、功的计算如果作直线运动的物体在运动过程中所受的力是变化一段距离S，则力F对物体所作的功为的，设物体所受的力与移动的位移x之间满足y=F(x)，求此力将物体从x=a移到x=b所作的功．变力在一微小段上所作的功可视为常力所以，总功为所作的功，功的微元为，练习1[克服阻力所作的功]二、

8、进一步的练习解克服阻力所作的功.一物体按规律作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0到x=a时，由于媒质的阻力与速度的平方成正比，设比例系数为k，于是媒质的阻力为在上克服阻力所作的功(功的微元)为当物体从x=0移动到x=a时，时间t从t=0到克服阻力所作的功为3.4.5压力一、压力的计算二、进一步练习由物理学知道，在液体深为h处的压强为p=rh，这里r是液体的比重．如果有一面积为A