08本科数值分析复习题00

《08本科数值分析复习题00》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、复习题(1)试用Doolittle分解法求解方程组68-16-5~4~X210311410151234，利用三角分解求/T234534454557_1234"1234"23452-1-2-3344532-1-1_4557_4311解：d由此得矩阵A的LU分解'1234"1'1234"234521-1-2-33445321-1-145574311_1_ALU现分别求解四个下三角方程组LY-efLY2=--'1-_o"0'"0"-2i001，y2=-23=14=01-1_-11分别求解四个上三角方程俎ux、=Y］，ux2=y2iux3=r3,c/A；=n—3"'3■-2'3-43—2，=3,X

2、3=01-1-11-1-11-333-421-1-230-11-1-11二、设方程为4x3—4x2—1=0(1)证明该方程在(1，2)内有且仅育一个实根;(2)由方程可得x=1+4,即得迭代公式4xxk+i=1+(*=0,1，…)判断该迭代法在(1，2)6的收敛性？若收敛，求收敛的阶;(3)取=1.5，用Newton迭代法求此方程的根.(保留到小数点后七位)解：记/(x)=4x3-4x2-1,(1)显然/U)在(1,2)上连续，又./(1)*/(2)=-15〈0，所以在(1,2)闪至少有一实根.又f'(x)=12x2-8x=4x(3x一2)在(1，2)大于0，所以由单调性，得原方程在(1，2)

3、内至多有一个实根.综合以上两者得证该方程在(1，2)内有且仅有一个实根;[1,2],1+忐，显然，⑴eC(1，2)，当xe[U]时，⑽e+炉*(；0=—4■，所以

4、<1,故此迭代法是收敛的，又Xg(1,2),所以

5、^(X)

6、E(—,-)C(0,l)，所以收敛阶是1.162(3)Newton迭代法格式为914x,/-4x,/-l12x,/-8x。得xfI.2666667,x2=l.1886615,x3=l.1797635,x4=l.1796521,x5=l.1796520=x6.所以x*=l.1796520,5x,+2x2+2x3=-9三、设方程组为，—A+4A+2X'135x,-2x2+8x3

7、=-11取x(0)=(0,0,Of，分别用Jacobi及G-S迭代法计©到？4>，并判断此方程组用Jacobi及G-S迭代法的收敛性？解：(1)Jacobi迭代法格式为x/A+1)=(-9-2x/)-2x，))/5，x/+1)=(13+x，)-2x，>)/4x/+,)=(-ll-5x1(A)+2x/))/8由x(0>=(0,0,Of，得x(,)=(-1.8,3.25,-1.375/，x(2)=(-2.55,3.4875,0.5625,，x(3)=(-3.42,2.33125,1.090625)r,x(4)=(-3.16875,1.8496875,1.3453125，(1)G-S迭代法格式为：-

8、x广”=(―9-2x/>-2x/))/5，x/+,)=(13+-2x/>)/4x3("+1)=(-ll-5x/+,)+2x/+,))/8由x(0)=(0,0,Of，得x(,)=(-1.8,2.8,0.45)r，x(2)=(-3.1,2.25,1.125)r，x(3)=(—3.15,1.9,1.06875/,x(4)=(-2.9875,1.96875,0.984375,(2)因此题巾系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以此题的Jacobi及G-S迭代法都是收敛的.四、(1)已知JV=/(x)满足如下的数据点X-1012/（X）-2101求满足此条件的Lagrange插值多项戎及Newton插值多项或.

9、解：(1)记x0=-l，jw=—2，x1=0,j,=1,x2=19y2=0,x3=2,j3=5得满足题中条件的Lagrange插值函数为=(x-0)(x-l)(x-2)x,(x+l)(x-l)(x-2)(-l-0)x(-l-l)x(-l-2)(0-l)x(0-l)x(0-2)(x+l)(x-0)(x-2)xQ+(x+l)(x-0)(x-l)xJ(l+l)x(l-0)x(l-2)(2+l)x(2-0)x(2-l)x(x-l)(x-2)(x+l)(x—l)(x—2)x(x+l)(x—1)=11326=x3—2x2+1(1)p题中数据得差商^为—~y~—阶差商I二阶差商I三阶差商-101-2103-

10、1-221111故得7V(x)=-2+3(x+l)+(-2)(x+l)x+l(x+l)x(x-l)=x3-2x2+1(2)求一个次数不髙于4次的多项式P(x),使它满足:P(0)=0,PXO)=0,P⑴=1,P'(l)=l,P(2)=l,并写出其余项表达式.解：由题意P(x)=x2(ov2+/)%+C)，由插值条件得方程组a+6+c=14a+3b++2c=14(4«+2ft+c)=1求解，得a=1