08级研《数值分析》复习题

《08级研《数值分析》复习题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、《数值分析》复习题(2008研)第一章绪论1.根据Horner算法设II•一种算法求下面多项式的值p/x)=«0+^1(x-x{))+«2(x-x0)(x-x1)++a：这实际上是Newton插值多项式的计算问题，参见P62算法1.22.设计一种算法求下面二次方程的两个根，使算法的数值稳定性尽可能地好：ax2+Z?x+c=0(4

2、6zc

3、D/?2)提示:用求根公式，避免相近的数做减法。3.用sinx在x=0处的Taylor展开取前四项作为sinx的近似来计算%-sin%(x□1)(1)估计该方法的截断误差；(2)设汁一种汁算方法使得数值稳定性尽可能地好，并且运算次数尽能地少。提示：(2

4、)从避免大数吃小数和Horner算法考虑。答案:64.下面是计算的迭代法17%0=2,xk+l=-(xk+—)(^=0,1,2,•••)2xk证明：若'是的具有位有效数字的近似值，则&+1是^/7的具有2n位有效数字的近似位。注：见P24习题7。这是Newton迭代法，思考它与平方收敛有什么关系？5.要使a/IY的近似值的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？提丞:参见P8定理2.1;签皇：4位6.(1)x=(3,0,-4,12)r,贝,

5、x

6、2=,

7、

8、义

9、L=(2)A=(3)A1-12311-51’则Ml，..condj/l)答案:(1)19,13,12；(2)4，3.618,5

10、，Vt5(3)^6,61.⑴设Pe尺，，

11、

12、•【是/T上的向量范数，证明是/r上的向量范数。(2)Ae/r"'1是对称正定矩阵，证明丄X、=(xtAx)~2(VxgRn)A是/?"上的向量范数。提示:(2)的证明用(1)的结论2.证明矩阵的2-范数与F-范数具有正交不变性。即设AeR咖，则对任意正交矩阵UeRmxm,VER^nfW\uav\2=\a\2,II響

13、

14、F=114。3.设且4<1,证明/—/I可逆，并有如下估计式4.设P是可逆矩阵，定义/?"上的向S范数证明由向S范数

15、

16、x

17、

18、p诱导的矩陈范数是

19、

20、；<=

21、/^/^

22、

23、2。提示:川卩20定理5.7的结论。5.A=Rmx

24、n,证明：max<

25、

26、A

27、

28、2<4mnmax*>)'，y

29、

30、/1

31、

32、2是比较难计算，用上式可以对某估计。第二章线性方程组的直接解法1.证明严格对角占优矩阵必是可逆矩阵。提示:可川反证法。设A严格对角占优，但不可逆，则Ar=O必有非零解：x=(x,,x9,---,x/r)r,设xA

33、=max

34、x,.〉0,考虑Ax=0中的第A个方程，推出矛盾i

35、10003，u=,P=2321440001150音110100答案：L4.R'x^y),

36、

37、义

38、

39、2=

40、

41、)，

42、

43、2,令Householder变换H为H=I-2C0C01，其中69证明//x=y;5.设x=(1,0,4,6,3,4广，求一Householder变换//和一个正数/?使得Hx=(l,p，4,6,0,0/6.用Householder变换法A进行QR分解—111'2-1-12-45(要求精确运算)见习题二(8)1.设是对称正定矩阵，xeRn,定义f(x)=-xTAx-bTx(1)计算grad/(x)3/df...dx29dxn(2)证明/(%)=min«Ax=Z?提示:参见

44、P498.线性方程组Ax=/?为11.00011_

45、2.000111卜―2现有两个近似解x（l）能否用oo%(2)=.('•)OO0.90.9计算残差b-Ar(/)(/=1，2)的大小來衡量近似解的精度？说明理由提示:参见的3定理3.2第三章函数插值1.已知函数y=/（X）的数据如下表X；/K)012313912分别写岀三次Lagrange插伉多项式和Newton插位多项式的表达式（不要求化简）X3+X22.设S(x)=,0

46、,2为节点的三次插值多项式答案:（x）—+x~—2x4.证明等距节点＜%＜（/i=戋—xQ=x2—七）的抛物插值余项R2（x）（XG[xn，x2]）有如下估计式:3hmax27庇ho，：irw

47、提示:利用Lagrange余项定理5.没函数/（X）是次多项式，对于互异节点七，％2，…，证明当n〉/c时，差商乂…，x,,]=0当时，差商/[x，^，…，xj是次多项式。提示：利用差商与导数的关系，和差商的定义第四章函数逼近1.叙述什么是“线性最小二