1最优化问题与数学预备知识

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1、第一章最优化问题与数学预备知识本章主要内容：最优化的概念经典最优化中两种类型的问题一一无约朿极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法最优化问题的模型及分类向量函数微分学的有关知识最优化的基本术语教学目的及要求：理解最优化的概念，掌握经典最优化中两种类型的问题一一无约束极值问题、具有等式约束的极值问题的求解方法，了解最优化问题的模型及分类，掌握向量函数微分学的有关知识，了解最优化的基本术语.教学重点：向量函数微分学的有关知识.教学难点：向量函数微分学的有关知识.教学方法：启发式.教学手段：多媒体

2、演示、演讲与板书相结合.教学时间：2学时.教学内容：§1.1模型与实例无约束最优化问题min/（x），％=（x,，x2，…，）7e.约束最优化问题（$□{x

3、义e）min/(x);S.t.XG5.min/(x)；、s.t.g,(x)>O,z=1,2,•••,/??,/zy(x)=O,y=1,2,•••,/.其中/（x）称为目标函数，&&，•••，'称为决策变量，S称为可行域，&（x）20（f=1，2,…，m），久0）=0（＜/=1，2，."，/）称为约束条件.例1（海洋运输问题）某航运公司承接了

4、一项将客户停放在港口等待运输的W种货物运往目的地的业务.设航运公司运输单位货物/的收益为c,.（元/吨），货船能够装载的货物的重量限制为W（吨），相应的容积限制为V（立方米），设巧是单位货物/所占的容积（立方米/吨），是货物；可提供的最大数量（吨）,%是货物f的日平均装船速度（吨/日），％为货船的日泊位费（元/日），仏为货船在海上航行时的口费用（元/口），为航行距离（公里），v为航行速度（公里/日）.问如何确定货船的装载方案，使航运公司获利最大？解设xz(/=l,2,…，AO是货船装载货物的数量

5、(吨)，则得到该问题的线性分式规划模型1=1'•=1VV；Vw：Vs.t.-V^0

6、卜

7、>0,同时，当且仅当x=0时，

8、

9、%

10、

11、=0；(2)VxeR,l,aER,有

12、

13、60；

14、

15、=

16、汉

17、.

18、卜

19、

20、;(3)Vx,yeRn9有

21、

22、x+y

23、

24、伞

25、

26、+

27、

28、y

29、

30、•则称

31、

32、%

33、

34、为x的范数.通常取

35、

36、%

37、

38、=人2+x22+."+<=(xrx)1/2.x的p范数：

39、

40、

41、x

42、

43、/7D(^

44、x,.

45、91/p(P>l)./=!%的最大范数：

46、

47、x

48、L□maxfl^.

49、

50、l

51、

52、t,和lit是定义于7'屮的两种范数，则总存在正数，使VxeRn,Wc,

53、

54、x

55、

56、^<

57、

58、x

59、

60、^

61、

62、x

63、

64、4.定义设A是n阶方阵，冬，人，…，4是A的全部特征值.maxl/lj称为A的]

65、A)2…2%(/1)为4的所有奇异值，且Z=R(A).性质如果A为az阶正定矩阵，'04)>/12(/1)^..22,,(/1)〉0和(7,(A)2C72(A)2…2

66、lor公式定义设.门如果维向量/),使得VAre/?w,有f(x4-Ax)-f(x)=p1Ax+0(11Ax

67、

68、).则称/⑴在点又处可微，并称吖⑴=/Av为/⑴在点又处的微分.如果/(X)在点无处对于x=(xpx2，…，xw)T的各分量的偏导数#^，/=1，2,…，/z都存在，则称/(x)在点jf处一阶可导，并称向量dx(W)=(3,⑻E)朋…3朋'3x,，3x2，dxfl为/(x)在点I处一阶导数或梯度.定理1设/:/r.如果/(x)在点j处可微，则/(x)在点j处梯度▽/(；?)存在，并丑有

69、d/(x)=▽/(〒//Lr.定义设6/是给定的《维非零向量，=如果存在，则称此极限为/(X)在点又沿方向d的方向导数，记作dd定理2设/:4/?，jfe/?".如果/(%)在点I处可微，则/(%)在点I处沿任何非零方向的方向导数存在，ddd定义设/(义)是/r上的连续函数，xer./是h维非零向量.如果35〉o,使得V又e(0,5)，W/(X+2J)<(>)f(x).则称d为/(X)在点J处的下降(上升)方向.定理3设f'Rn4R，hRn，且/(%)在点无处可微，如果3非零向量deRn,使得▽