高等流体力学例题()

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1、高等流体力学一．两块无限大的平行平板之间充满液体，平板的倾角为，平板之间距离为b，液体的动力粘性系数为，密度为，重力加速度为g。若下板固定，上板在其本身的平面内以速度滑动，假设液体是牛顿流体，流动是层流流动，试问：(1)为何值时，平板之间的液体流量在固定坐标中为零。(2)在上述情况下，液体流速分布如何？试作出速度分布示意图。解：(1)如下图所示建立坐标，上平板在x方向以速度运动，垂直和展向流速,由连续性方程得。bxy当只考虑重力作用时，N-S方程可写为：(1-1)(1-2)(1-3)由(1-3)式知

2、，压强与无关，由(1-2)式可得：令由(1-1)、(1-2)、(1-3)可得：由上式可得：(1-4)为一常数，边界条件为：，，(1-4)式的解为：(1-5)如令可有：(1-5)式可写为：(1-6)流量为：若流量为零，则有：(1-7)所以当时，平板之间的液体流量在固定坐标中为零。(2)把(1-7)式代入(1-6)可得：令，则：流速分布如下图所示：xy二．设平板层流附面层中流速分布为：或用动量方程求、、。解：方法一对于平板层流附面层流动，动量积分方程式可写为：(a-1)设，则，边界条件相应写为：；，；假

3、设一个流速分布后，可分别计算：边界层排挤厚度(a-2)边界层动量损失厚度(a-3)壁面切应力令，则有：(a-4)把(a-2)、(a-3)、(a-4)代入(a-1)式，得：积分此式可得：求出后便可以求出、、对于，可以分别计算：可得到：方法二平板层流附面层中流速分布为：由牛顿内摩擦定律和速度分布可得：(b-1)(b-2)(b-3)将(b-1)、(b-2)、(b-3)代入得：即：对上式分离变量积分可得：即：所以：所以边界层的排挤厚度为：壁面切应力为：三．阅读有关文献资料，叙述各种湍流模式理论，介绍求解湍流

4、问题的新方法和新理论。尽管经过一个多世纪的理论与实验研究，已揭示出很多湍流中的流动现象。但对于湍流的内在相互作用机制及外界的控制作用，人们尚未了解得十分清楚。湍流对许多因素都很敏感，如变形、压力梯度等，而这些因素的作用又往往是非线性和相互耦合的。在理论上，尽管湍流研究有约一百年的历史，但湍流问题仍是经典物理学中尚待解决的主要问题。在今天的研究中，随着计算机的迅速发展，湍流的数值模拟已成为解决工程设计中流动问题的重要手段。一般以为，湍流的基本物理性质可由N-S方程来描述，然而直接求解这个方程以解决实际

5、中的复杂流动问题，这在目前乃至将来都受限于计算机的容量和速度。因此，几乎所有湍流的工程计算都基于某种形式的N-S模化方程。湍流模式的研究因而对解决工业湍流问题有着重要意义。湍流模式的建立主要基于雷诺提出的平均方法，即将湍流量分解成平均和脉动量两部分，取平均(如时间平均)后的N-S方程通常称作雷诺方程，其中出现的脉动量间的相关项包含湍流的全部信息。如何在平均场和脉动相关项之间建立一定的合理关系是湍流模式的主题。目前工程计算中常用的有两类模式，一是符合Boussinesq猜想的涡粘性模式，如普朗特早期提

6、出的混合长度模式、一方程模式、二方程k-模式；另一类则是对二阶矩方程进行封闭模化的二阶矩闭合或雷诺应力模式。k-模式对计算机能力的要求大大低于雷诺应力模式，因而在工程计算中被广泛应用。1．涡粘性湍流模式涡粘性湍流模式布西内斯克(Boussinesq)早在一个世纪前就提出了湍流的涡粘性概念，他认为，湍流运动的本质是涡的运动，湍流涡对流场的作用是提高了流体所感觉到的粘性。他为了解决湍流问题，对应于层流中切应力与流速梯度的关系：引入涡粘度，使得湍流的雷诺应力与流场中时均流速梯度建立了如下关系：与粘度的概念

7、不同，涡粘度不是流体本身的一种物理性质，它是湍流的一种流动特性，决定于湍流的时均流速场和几何边界条件。对于不同的流动，涡粘度不同。将上述关系代入雷诺方程中得到：式中唯一的参数是涡粘性系数，因此湍流应力的模化就变成了涡粘性的确定，这一模型称为涡粘性模型。涡粘性湍流模式又可以分为零方程模式、一方程模式和二方程模式。(a)零方程模式零方程模式是由普朗特提出来的混合长度模式，他认为涡流涡的长度尺度对涡粘性的影响与分子自由程对分子粘性的影响类似，因此为涡粘性系数在平面剪切流中的形式，为“混合长度”，代表小涡团

8、间相互作用的距离。在近固壁区进一步有为卡门常数。在六七十年代，随着计算机在飞速发展，混合长度模式被用来作复杂的多维流动计算，涡粘性系数的表达式也被普化为应变率形式和涡量形式，应变率形式由Smagorinsky提出，目前在大涡模拟计算中广泛应用；涡量形式由Baldwin和Lomax提出并在空气动力学计算中应用广泛。这两种形式的涡粘性系数表达式在平面剪切流中都与普朗特的混合长度理论相吻合。零方程湍流模式形式简单，但对今天的流动计算要求很不相符。该模式完全忽略了湍流的历史效