由概念切入 作自觉分析 成概念解法.doc

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1、由概念切入作自觉分析成概念解法---对2009年全国高考数学广东卷（理科）第21题的解题分析广东省佛山市顺德区北滘中学远勋平2009年广东省数学高考是贯彻新课标、强化新理念的深化，在回归课本中突出数学概念的考查，尤其聚焦于21题.1.题目已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.(略)这是一道带有明显几何背景的数列与不等式的综合问题，内含多个数学概念、考查多种数学方法.2.对（1）的解题分析---解题思路的探求由概念切入联想、数形结合指导化归学生拿着题目一筹莫展，找不到解题的突破口，这在很大程度上是

2、学生不会做解题分析、不知道数学解题思维“要从何处开始、该如何发展、应奔向何处”，学生的分析问题的思维指向性不强.数学解题的思维的起点是审题，这一过程包括数学信息的“有用捕捉、有关提取、有效组合”，捕捉问题中显化的数学概念、通过联想提取记忆中的有关信息、利用数形结合的方法进行有效的组合。重视基础、夯实基础知识和基本方法成为共识，数学概念就是基础的“基底”，数学概念本身就反映数学方法.本题涌现出的数学概念：曲线的方程、曲线的切线、直线的斜率等，无不揭示“数形结合”这一数学方法.从每一个概念出发，联想与之接近的基础知识，辅助于数形结合的方法指导

3、化归，就能解决问题.2.1选择曲线的切线作为切入点求曲线的切线是一类基础题，采用“模式识别”法联想到：圆锥曲线的切线常用判别式法、函数图像的切线常用导数法.（1）判别式法解法1：由题意可知，切线：，故得，（1）则，∴即（舍去），代入（1）得，，这是求圆锥曲线的切线的常用方法法.即便如此，稍作分析，易看得出根本没有必要把（舍去）求出.另外在判别式的前提下，求一元二次方程的根用求根公式更方便：.（2）导数法解法2：曲线表示以为圆心，以n为半径的圆，切线过且斜率，故直线与曲线必相切于x轴上方部分（如图）：将曲线的上半部分看作是函数，则切线，又过

4、，得（*）代入上式得：即（a）(b)解（a）得：.2.2选择曲线的方程作为切入点既然知道曲线的方程，就应判断曲线的形状，从具体的图形入手解题.解法3：注意到曲线可化为，所以，它表示以为圆心，以n为半径的圆，切线的方程为.从直线与圆相切的角度出发，易得到：，化简得，故，同理可得．利用圆心到直线的距离等于半径是求圆的切线的简单方法.2.3选择直线的斜率作为切入点解法4：∵，∴.∵直线与圆相切于点，∴，解得，注意到，从而解得．．利用过切点的半径与切线垂直转化为“线线垂直”.2.4由平面几何中圆的切线切入以上两种解法其实质上是以数形结合为指导，将

5、问题转化为“圆的切线”问题.而“圆的切线”这一概念又引发我们的数学联想---平面几何中“圆的切线”的有关问题.于是便有如下的解法：解法5：曲线是圆心为，半径为的圆，如图，在中，，由射影定理得：，解得．解法6：同上，由切割线定理可得：，又，即，∴．又，注意到，∴．2.5由向量垂直切入这或许就是本题的“初等背景、本质和原形”.在发现“背景、本质和原形”的过程中，我们把“垂直”关系具体化了，而“垂直”又是一个基本概念，这又会引发我们的联想---向量也有垂直啊！解法7：向量法如图，，则，即⑴又切线方程：，将代入得⑵将⑵平方代入⑴的：⑶即⑷再将代入

6、上式得：化简得易得，或（舍去）在⑷中代入要多次代入，能否使得代入简单些呢？该在何处代入呢？i.若将代入⑶得整理得，比上面方法要简洁些.ii.若将⑴先变形为：即或（舍去）若将代入得通过解题分析，优化了解题过程.从问题中出现的每一个数学概念（曲线的方程、曲线的切线、直线的斜率）出发，联想与之接近的基础知识，辅助于数形结合的方法指导化归，就能解决问题.若再由解题过程中出现的数学概念（直线垂直）联想、自觉的进行数学分析，可在溯本求源中发现问题的本质.3.对教学的引领作用（1）将数学概念设计在网络知识的交汇点是考查基础知识的鉴别和思维的灵活性，多背

7、景的问题本身就提供多渠道切入，降低了解决问题的起点难度，解题教学中要有意识、有必要的多培养---捕捉概念入手解题的意识.（2）在高考数学命题指导思想坚持“注重数学本质、深化能力考查”的思路下，“豪华包装”的诸多创新题，一旦浮华散去，高考数学只剩下数学概念和方法。因此在数学解题教学中，我们应有意识的培养学生的数学分析问题的能力---尤其是培养学生解开“虚伪的、豪华包装的”的问题的能力，而指导学生“捕捉问题中的数学概念、从概念切入探究，联想该概念的有关知识网络，结合模式识别法作自觉分析，借助于数形结合的方法进行有效组合、形成数学概念解题的方法

8、”。（3）现在的数学解题教学普遍流行“题目+解法”的题型教学模式，注重选题的典型性、解题教学的通法性、解题教学的一题多解，而忽视解题分析的切入（概念切入法），即“重结果而轻过程”、“重解而轻析