“折纸中的几何学”（京教杯入围）——北京101中学邱静

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1、北京市中小学第一届“京教杯”青年教师教学基本功展示活动教学设计“折纸中的几何学”北京市第一〇一中学年级：初三学科：数学姓名：邱静注：①本课例是“北京教育学院教师教育数理学院2016年教师培训项目——协同创新”的首批示范课例，指导教师：王建明；②也是市级规划课题“基于创新能力培养的数学实验教学研究”的示范课例.【整体说明】：邱静老师的“折纸中的几何学”一节课，是对整体把握数学课程（UMC）的一次非常有意义的尝试，是一次实践活动课的新理解，是一次数学核心素养的初中数学教学中的很好落实。一、本节课的学科主要特点1.本节课清晰地理解“折纸几何学”与“欧

2、式几何学”的异同。折纸几何继承了欧式几何的所有公理，同时又利用折纸的具体操作，扩大了欧式几何的公理体系，特别是折纸几何学中可以解决三次多项式方程的根。本节课的三等点是折纸几何学与欧式几何学尺规作图的共同部分。2.本节课通过在一个正方形的纸片折出“三等分”点，展现了经验几何、综合几何与几何代数化（方程与函数用于几何的研究）的基本过程，体现了学科知识内容的纵向发展与横向联系。二、本节课的学生学习特点1.学生的初次折纸（三等分点）往往都是依据直观经验，在尝试中寻找正方形纸片边缘的三等分点。这个学习过程与经验几何的发展历史是及其相似的。经验几何与经验数

3、学也是许多数学学习的开始。2.初中学生对欧式几何公理化体系与公理化思想，已经初步掌握。在学生实践活动中或实践活动后，有些学生开始做出理性的思考：如何用欧式几何的公理体系，论证三分点的存在，如何用尺规作图的方法“折出”三等分点。这个过程就是欧式几何公理化思想运用的学习。3.当正方形纸片边缘的二分点与三分点都已经折出（或尺规作图）得到后，寻求正方形纸片相邻边缘的x分点与y分点，就是几何代数化的学习。以上的三个阶段，学生的发现问题、提出问题及解决问题的策略在不断发展，学生的一次折纸活动就如一次几何学发展历史的浓缩版。三、本节课的数学核心素养六个数学核

4、心素养，在本节课中主要体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模与直观想象。1.在学生第一次折出三等分点的学习中，首先是经验与直观想象在发挥作用。2.直观想象之后的学习，学生依据欧式几何公里体系，把折纸抽象为正方形的一条边的三等分点，是建立在几何抽象与几何论证基础上的。3.在把二等分与三等分的情况，做一般化推广后，数学模型就成为了必然的选择——方程与函数成为了解决一般问题的基本模型。本节课的具体模型xy+x+y=1,实际上是一条双曲线，对未来学生高中阶段的函数学习提供直观基础。——王建明教授授课题目折纸中的几何学使用教材人教版九年级（上）授课年级初三设

5、计思路1.选择“数学实验”的原因：第一，在200万年的发展中，可以说人类是通过动手活动积累经验，再有逻辑推理；对学生来说，虽然学习的几乎都是现成的、理性思维的内容，但是还应该有动手操作活动，这不仅符合课标要求，而且与人类学观点“个人的发展和人类的发展是自相似的”保持一致.第二，作为北京市课题“基于创新能力培养的数学实验教学研究”的核心成员，进行过数学实验的思考、尝试，更将对数学实验的探索和实践作为自己的专业特色发展方向；2.选择“折纸活动”的原因：第一，折纸门槛低，操作方便，覆盖面广，第二，折纸有完整的公理体系保证，第三，期望像著名数学教育家波

6、利亚所说的“拿一个有意义又不复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完成的领域.”；3.“三条线的设计”：第一，知识技能方面：引导学生折纸得到边的三等分的三种方法，并感受数学实验“思行结合”的特点；第二，通过折纸活动，初步感受几何学的几个发展阶段（经验几何、综合几何、解析几何、变换几何等），从多角度认识几何学的价值和多样性；第三，在观察、思考过程中发现问题、提出问题，分析问题，解决问题，切实培养创新意识.学情分析1.学生接触过数学实验（如剪纸折纸，制作模型等），但动手机会不多，动手能力不足，而且

7、抽象思维还需加强，对数学思想方法的体会还不够深刻；2.虽然重点学习“古典几何”、“几何变换”，也经历“几何问题代数化”的过程，但没有较系统地了解几何学以及数学史的发展阶段，也没有细致体会过其中的了不起的思想和价值，对学科的崇拜、敬畏之心还须通过亲身感受来建立.教法分析为了体现数学实验的特色，教学中让学生独立思考、充分操作；当学生思维有障碍时，教师适时采用“启发式”问题教学法，在学生发现问题之处，适当点拨，并且进行提出问题的角度的指导，使教师一直站在学生思维的最近发展区上.学法分析1.学生利用已有的几何知识、代数知识、动手活动经验等作为研究新问题

8、的基础，探究正方形的边的三等分点，由此学生不仅会对三等分的构造有了一个新的认识，而且期待他们对折纸问题甚至数学实验操作活动有整体的认识和把握；2.课堂