第二章椭圆的几何性质应用.docx

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1、椭圆的几何性质（重点是离心率）一、基础知识1、椭圆的性质：以焦点在轴的椭圆为例：1）：与长轴的顶点有关，称为长轴长：与短轴的顶点有关，称为短轴长：与焦点有关；称为焦距恒有2）对称性：椭圆关于轴，轴对称，且关于原点中心对称（与坐标、中点、长度、三角形、平行四边形有关的问题时，通常要利用该性质）3）椭圆上点的坐标范围：设，则4）离心率：，因为，所以5）焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径，用表示（1）焦半径的两种表示第一种：若，则（“左加右减”），若焦点在轴，则上加下减第二种：设与x轴正半轴形成的角度为,

2、与x轴正半轴所成的角为，则，，开口向左的，分母是减号（2）焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为6）焦点弦：过某一焦点的直线与椭圆相交得到的两个交点之间的线段13若倾斜角为的过焦点的直线与椭圆交于两点，则，（当时最短，即通径最短，此时）7）焦点三角形：为椭圆上异于长轴端点的任一点，为椭圆的焦点，则为焦点三角形，（1）PF1

3、＋

4、PF2

5、＝2a，（2）焦点三角形的周长为2(a＋c)（3）已知一角，可用余弦定理求边，4c2＝

6、PF1

7、2＋

8、PF2

9、2－2

10、PF1

11、

12、PF2

13、cosθ.故椭圆

14、上的点与两个焦点的距离之积，在上下顶点取最大值，左右顶点取最小椭圆上不同于长轴顶点的点与两个焦点的距离之积椭圆上不同于顶点的点与两个焦点的距离之积（4）已知两角，可用正弦定理求边，（5）焦点三角形的面积（其中）因为，所以，由此得到的推论：①的大小与之间可相互求出②的最大值：最大最大最大为短轴顶点13综上：焦点三角形包括六个知识：和、积、周长、面积、正弦定理（二个角）、余弦定理（一个角）2、求值常用思路：1）椭圆上一点到两焦点距离，考虑定义PF1

15、＋

16、PF2

17、＝2a；过原点直线的两端点到一焦点距离，利用对称

18、性可得平行四边形，然后转化为一点到两焦点情况。2）可求点横坐标或者纵坐标的，考虑焦半径，；3）涉及准线的，考虑第二定义--点到焦点的距离与到准线的距离之比为离心率3、求范围常用方法：1），2）三角形成立，则两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3、最值问题：利用图形解决（常见共线）或者参数方程求最值4、常用结论：1）2）椭圆上过原点的线段端点与另外一点的斜率之积为3）若为椭圆的长轴或者短轴顶点，为曲线上异于顶点的点，则4）焦点三角形中，当且仅当点运动到上下顶点时，所形成的角最大,且.5）若为直线与椭圆的交

19、点，为的中点，为坐标原点，则有6）过椭圆焦点且倾斜角为的直线与椭圆于两点，且，则137）焦点三角形中，,5、常见考点椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大．主要有以下三个命题角度：1）由椭圆的方程研究其性质；2）求椭圆离心率的值(范围)；①直接求出a，c的值，利用离心率公式e＝＝直接求解．②列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．3）由椭圆的性质求参数的值(范围)．①将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造

20、函数或不等关系．②将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围．13二、例题例1、已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，

21、PF

22、＝

23、AF

24、，则该椭圆的离心率是________．解：由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±.又

25、PF

26、＝

27、AF

28、，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．例2、如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若

29、PF

30、1

31、＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________．解：b2＝2，c＝，故

32、F1F2

33、＝2，又

34、PF1

35、＝4，

36、PF1

37、＋

38、PF2

39、＝2a，

40、PF2

41、＝2a－4，由余弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，13法二、例3、设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．解：由题意知sin30°＝＝，∴

42、PF1

43、＝2

44、PF2

45、.又∵

46、PF1

47、＋

48、PF2

49、＝2a，∴

50、PF2

51、＝.∴ta

52、n30°＝＝＝.∴＝，法二、例4、椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左，右焦点分别是F1，F2，B是短轴的一个端点，若3＝＋2，则椭圆的离心率为________．解：不妨设B(0，b)，则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由条件可得－3c＝－a＋2c，∴a＝5c，故e＝.法二：向量“爪”型：，∴a＝5c，故e＝.例5：已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线L与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为_______