有趣的大素数分布统计.doc

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1、有趣的大素数分布统计素数，飘忽不定、乱云飞渡。素数，普遍认为的分布规律是没有规律。素数，时而连续，时而相隔很远。有远亲、有近邻。人们已经习惯了小区间的素数分布情况，并认可其为真理，比如以下几点：1、统计10以内有4个素数，素数占40%，100以内有25个素数，素数占25%，1000以内有168个素数，素数占16.8%。这种观念和方法可以说是根深蒂固。当然“素数越来越稀少”这个结论更是牢不可破。2、以10倍增长来考察素数分布规律。几乎所有关于素数个数统计的文章中都是按照10，100，1000，10000等10倍增长来统计相应自然数内的素数个数。而在大区间情况又是怎样

2、的呢？它和我们头脑中的素数观一致吗？还是列举一些实例吧，体会一下也许与上述小区间素数观念不一样的素数观。先列出10000附近的素数来体会，虽然数字太小，但也许还是可以发现一些端倪的。这里将相邻两个区间按照排列顺序简称为前区和后区。首先展示自然数10000左右的素数分布情况。以10000为中心，以100为区间大小。也就是说9900-10000为前区，10000-10100为后区。在前区素数个数为9个，后区为11个，前后区个数比值为0.82。两者结果相差18%。而若以1000为区间大小，前区为112个后区为106个，前后区个数比值为1.06。相差还是有些大的。如果非常

3、认真的人一定会认为两区间所含素数个数相差很大，而一些马马虎虎的人就可能认为两者差不多吧。相同的统计结果在不同的人群中还是可能有些认知差别的。那还是看一下大数字下的素数统计分布情况。以下统计都是以100亿为中心，以100亿的1%为区间大小，也就是说个前后两个区间长度各为1亿。下面按素数、孪生素数、三胞胎素数、四胞胎素数分述如下：一、素数的分布前后区分别包含4343734和4341930个素数，前后区个数比值为1.0004，仅仅相差0.04%。与前文自然数10000时“相差16%”的统计结果中可以说是天壤之别了。前后区分别包含了1086253和1085898个个位为1

4、的素数，前后区个数比值为1.0003；前后区分别包含了1086064和1084787个个位为3的素数，前后区个数比值为1.0012；前后区分别包含了1086118和1085574个个位为7的素数，前后区个数比值为1.0005；前后区分别包含了1085299和1085671个个位为9的素数，前后区个数比值为0.9997。二、孪生素数的分布：孪生素数可以按照个位分成3个类型，个位为1和3的称之为13型孪生素数，此外还有79型孪生素数，91型孪生素数。前后区分别包含了249141和248981个孪生素数，前后区个数比值为1.0006。其中，前后区分别包含了83234和8

5、3286个13型孪生素数，前后区个数比值为0.9994；前后区分别包含了82830和83060个79型孪生素数，前后区个数比值为0.9972；前后区分别包含了83077和82635个91型孪生素数，前后区个数比值为1.0053。可以看到两个相邻各1亿区间内的孪生素数数量基本一致。两组13型孪生素数间距最短距离是30，比如41-43和71-73就是一对相差30的13型孪生素数。此外还有相差60、90等许多种间距的孪生素数，在99亿-101亿区间内13型孪生素数彼此最短间距为30，最长间距为15180。这里仅列举相差30、60、90的13型孪生素数在前后区分布情况：间

6、距30的13型孪生素数前后区分别是1983和1951对，前后区个数比值为1.0164。间距60的13型孪生素数前后区分别是1589和1542对，前后区个数比值为1.0305。间距90的13型孪生素数前后区分别是1698和1674对，前后区个数比值为1.0143。可以看到在两个相邻区间内，不但孪生素数个数是相近的，就是孪生素数之间的间距统计也是非常接近一致的。三、三胞胎素数前后区分别包含了11774和11707个三胞胎素数，前后比值为1.0057。三胞胎素数在99亿-101亿区间内最短间距为30，最长间距为74790。间距30的三胞胎素数前后区分别是41和38对，前

7、后区个数比值为1.0789。间距60的三胞胎素数前后区分别是29和31对，前后区个数比值为0.9355。间距90的三胞胎素数前后区分别是26和26对，前后区个数比值为1。四、四胞胎素数前后区分别包含了1458和1512个四胞胎素数，前后区个数比值为0.9643。四胞胎素数在99亿-101亿区间内最短间距为30，最长间距为692460。间距30的四胞胎素数前后区各有1对，前后区个数比值为1。这两对四胞胎素数分别是：997072018-997072021和1005072304-1005072307（此处四胞胎素数均不包含个位数字1、3、7、9，故可以用1个数字代替，完

8、整的一组四