二阶电路微分方程的建立

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1、10.6二阶电路微分方程的建立RLC串联电路初始值为：由KVL：选iL作变量：求一次导数，得：二阶微分方程初始条件令左式t=0,得：1RLC串联电路初始值为：由KVL：选uC作变量：二阶微分方程初始条件建立网络方程2RLC并联电路初始值为：由KCL：选uC作变量：二阶微分方程初始条件建立网络方程求一次导数，得：令左式t=0,得：3RLC并联电路初始值为：由KCL：选iL作变量：二阶微分方程初始条件建立网络方程4两网络及方程的对偶关系对偶关系对偶关系5网络的固有频率RLC串联电路：两个微分方程的特征方程都为：令特征根：称为

2、网络的固有频率或自然频率。RLC并联电路：两个微分方程的特征方程都为：令特征根：称为网络的固有频率或自然频率。对偶关系对偶关系610.7零输入响应形式之一：过阻尼特征根：若即：RLC串联电路RLC并联电路S1，S2是不等的负实根。零输入响应的通解为：7零输入响应的四种形式之二：临界阻尼特征根：若即：RLC串联电路RLC并联电路S1=S2=-是重根。零输入响应的通解为：8零输入响应的四种形式之三：欠阻尼特征根：若即：RLC串联RLC并联电路一对共轭复数。零输入响应的通解为：令：其中：为衰减系数，d为振荡频率。衰减振荡

3、9零输入响应的四种形式之四：无阻尼特征根：若即：RLC串联RLC并联电路一对共轭虚数。零输入响应的通解为：令：波形是等幅振荡的10例题1电路如图所示，它的固有响应的性质是_____。B（A）过阻尼（B）欠阻尼（C）临界阻尼（D）无阻尼11例题2（自测题10-20）如图所示电路中的二极管是理想的，其中_____电路中的二极管有时能导通，_____电路中的二极管不会导通。只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。AB可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。S+-图BS+-图A12例题3（自测题10-21）二阶电路的电容电压uC的微分方

4、程为特征方程为：B此电路属______情况。（A）过阻尼（B）欠阻尼（C）临界阻尼（D）无阻尼可见特征根为一对共轭复数。故选B。1310.8二阶电路电路的全响应已知：由KVL：这是二阶非齐次线性常系数微分方程。通解为：通解＝特解＋齐次解，即：特解为稳态解，设特征根为：S1，S2则齐次解为：故通解为：14全响应的四种情况按特征根的不同，有四种情况：(1)过阻尼：(2)临界阻尼：(3)欠阻尼：(4)无阻尼：的曲线如图所示：15二阶电路的解法主要研究RLC串联电路和RLC并联电路；由于这两个基本电路如何选变量、建立电路方程、求

5、解过程都有详细的结论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用已有的结论进行分析计算。二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与L、C的关系确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常数。一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换方法求解就简单了。放在《信号与系统》课程中学习。16例10-15电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及t1时，iL=0，试计算uC(t)，t0+，并绘波形图。

6、解：在0t1s，如图为RC放电电路=RC=1s故有uC(t)=10e-tVt1s:初始值为uC(1+)=uC(1-)=10e-1ViL(1+)=0通解：R=0，无阻尼情况。特征根为s1,2=j1uC(t)=Kcos[(t-1)+]代入初值：10e-1=Kcos0=-Ksin解得：=0K=10e-1所以，uC(t)=10e-tcos(t-1)Vt1s波形如图所示。17用MATLAB求解微分方程例10-16的微分方程为初始值为函数dsolve()uc=dsolve('0.25*D2u+5*0.25*Du+

7、u=24','u(0)=4','Du(0)=16')18用MATLAB求解微分方程%R=5uc1=dsolve('0.25*D2uc+5*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4','Duc(0)=16')ic1=0.25*diff(uc1)%R=4uc2=dsolve('0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4.8','Duc(0)=19.2')ic2=0.25*diff(uc2)%R=1uc3=dsolve('0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24','uc(0)

8、=12','Duc(0)=48')ic3=0.25*diff(uc3)19用MATLAB求解微分方程%电压波形figure(1)t=linspace(0,9,300);u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3);plot(t,u1,t,u2,t,u3,'linewidth',2),g