圆锥曲线的最值可以这样求.doc

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1、圆锥曲线的最值可以这样求浙江省宁波市鄞州区姜山中学（315191）王可群电话：13967804485邮箱：wkq12195@163.com圆锥曲线中的最值问题是各地历年高考试卷中的热点和难点问题，考生在解答该类问题时，常常表现为无从下手，或者半途而废。本文从近几年各地高考试卷中精选出与此有关的一些题型加以分类解析，旨在探索题型规律，总结解题方法。一、距离之和与差的最值距离之和与之差的最值问题主要出现在选择或填空题中，题目的条件特征明显，主要涉及到曲线的焦点或准线，要求考生针对题意快速做出判断。解决此类问题应注意左右焦点与相应准线的对应

2、关系，按照平面几何中直线距离最短的原理，利用曲线的定义解决问题。例1、（2009辽宁卷理）已知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。【分析】注意到点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为，于是，由双曲线性质而两式相加得，当且仅当、、三点共线时等号成立。例2、（2008辽宁卷理）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．C．D．分析：依题设在抛物线准线的投影为,抛物线的焦点为，则,依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为,则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和二、两点间距离

3、的最值这里的两点主要有两种情况：一是在同一支曲线上，用弦长公式直接建立函数关系；二是在不同的曲线上，借助平面几何和曲线本身的性质建立函数关系，或直接求出坐标，用两点间的距离公式建立函数关系。例3、(2009湖南卷理)在平面直角坐标系中，点到点的距离的倍与它到直线的距离的倍之和记为，当点运动时，恒等于点的横坐标与之和。（Ⅰ）求点的轨迹；（Ⅱ）设过点的直线与轨迹相交于，两点，求线段长度的最大值。解（Ⅰ）解略，点的轨迹是椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分（包括它与直线的交点）所组成的曲线，参见图1（Ⅱ）如图2所示，易知直线与，的交

4、点都是，，直线，的斜率分别为=，=。图2图1当点在上时，由椭圆第二定义知.①21世纪教育网当点在上时，由抛物线定义知②若直线的斜率存在，则直线的方程为（1）当或，即或时，直线与轨迹的两个交点，都在上，此时，由①知从而由得则，是这个方程的两根，所以+=*因为当或时，当且仅当时，等号成立。（2）当，直线与轨迹的两个交点分别在上，不妨设点在上，点上，则由①②知，设直线与椭圆的另一交点为，则。所以。而点，都在上，且由（1）知，所以。若直线的斜率不存在，则，此时，综上所述，线段长度的最大值为。三、面积的最值主要是四边形和三角形的面积，计算时抓住

5、三角形的面积公式，最终借助弦长公式建立函数关系，用基本不等式、二次函数和函数的单调性求导等方法确定最值。例4、（2009全国卷Ⅰ理）如图，已知抛物线与圆相交于四个点。（I）求得取值范围；（II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标。分析：（I）略（II）设四个交点的坐标分别为、、、。则由（I）根据韦达定理有，则令，则下面求的最大值四、参数的最值题中点的坐标或曲线方程用参数表示，要求考生通过观察、分析题设结构和隐含信息，进而以条件中的元素为“元件”，以数学关系为“支架”，构造一种相依的方程、不等式或函数，再利用有关性质和方法解决问

6、题。例5、（2009浙江文）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．解析（Ⅰ）抛物线方程为：（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即：，，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线，，整理得，解得（舍去），或，五、向量数量积的最值平面向量是新课程关注的内容，近几年全国各地的高考试题中，向量与解析几何的综合问题时

7、有出现，而求向量数量积的最值又成了新一轮的亮点。例6、（2011湖南文）已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解析：（I）动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得：当且仅当即时，取最小值16．这类问题一是借助坐标这个工具把向量的数量积和解析几何完美结合，建立函数关系，二是运用向量加减法的

8、几何意义把向量做适当的转换，再利用曲线的性质建立函数关系。通过对近几年全国高考中圆锥曲线的最值问题的分类归纳，从中可以看出与此有关的解答题主要涉及到直线与圆锥曲线相交的问题，联立方程是通法；构造方程、函数、不等式是基本思