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《圆锥曲线求最值方法总结及典型例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、线y=的垂线，垂足分别是A】、Bi、M
2、,43+—二4倾斜角分别为廚叨.-伽y°_o-儿k5一苛PT证PN=tan0=%_02V2-V2锥曲线最值问题一5大方面最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平儿、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一.求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条眩，若AB=4,则AB的中点M到直线y+l=O的最短距离解析:抛物线y=x?的焦点为F(0,-),准线为y二-31则所求的距离d=M
3、M1+r-(AA1+BB,)当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值耳，4评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面儿何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二.求角的最值9例2."分别是椭畤的左、右焦点，/是椭圆的-条准线，点P在‘上，则ZMPN的最大值是.解析：不妨设/为椭圆的右准线，其方程是x=2近，点P(2V2,y())(j0>0),直线PM和刖于是tanZMPN=tan(J3-a)_tanp-tana1+tan0tana2②。2a/22V2V3——<—6+朮A+~2V63儿°7C•・•ZMPNe[0,-)2T
4、T7T:.乙MPN<—即ZMPN的最大值为一.66评注：审题时要注意把握3PN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值X~y~例3.点M和F分别是椭圆-+f=l上的动点和右焦点，定点B(2,2)•⑴求IMFMMB的最小值.⑵求-
5、MF
6、+
7、MB
8、的最小值.4425解析：易知椭圆右焦点为F(4,0),左焦点Fz(-4.0),离心率e=-,准线方程x=±M54⑴
9、MF
10、+
11、MB
12、=10—
13、MF'
14、+
15、MB
16、=10—(
17、MF'
18、—
19、MB
20、)>10-
21、FzB
22、=10-2V10.故当M,B,F'三点共
23、线时，
24、MF
25、+
26、MB
27、取最小值10—2価.25⑵过动点M作右准线x二二的垂线，垂足为H,4则l^^=e=-=>
28、MH
29、=-
30、MF
31、.MH55517于是一
32、MF
33、+
34、MB
35、=
36、MH
37、+
38、MB
39、$
40、HB
41、二——•44517可见，当且仅当点B、M、H共线时，一
42、MF
43、+
44、MB
45、取最小值一・44评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平儿屮的问题，利用三角形三边所满足的基本关系,是解决此类问题的常见思路。例4•点P为双曲线一—=1的右支上一点，M,N分别为(x+V5)2+y2=1和4・(x-V5)2+j2=1±的点，则P
46、M—PN的最大值为.解析：显然两己知圆的圆心分别为双曲线的左焦点F,(-75,0)和右焦点F2(V5,0).对于双曲线右支上每一个确定的点P,连结PF、,并延长PF、交©0于点Me.则PM。为适合条件的最大的PM,连结戸月,交。尸2于点N°.则PN。为适合条件的最小的PN.于是PM_PN5PM（）_PNo=（P存+1）_（P^_1）=（P斤_P鬥）+2=4+2=6故PM—PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面儿何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.二一£=一1的离心率，则©+£2的最小值C
47、Tb・12例5.己知即£2分别是共轨双曲线二=1和CT解析:才=屮=1+借erera1+b2（十2）订4惟2=4｛（1+£）（1+畚）J222+（^+-^）>4^2+2=8cTb~考虑到+幺2>0,故得£
48、+勺n2V2.即©+幺2的最小值为2^2.评注^解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基木不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6.己知平面内的-个动点P到直线„羊的距离与到定点F(V3,0)的距离之比为型，点A(l,丄)，设动点P的轨迹为曲线C.32⑴求曲线C的方程；⑵过原点0的直线/与曲线C交于
49、M,N两点.求△MAN面积的最大值.解析：⑴设动点P到/的距离为d，I壮题慧—=—d2根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.*.*c=V3,e=—=,可得a=2,a2:.b2=a2-c2=4-3=1故椭圆C的方程为：十八I⑵若直线/存在斜率，设英方程为y=kx,/与椭圆C的交点/V(x2,^2)将y=kx代入椭圆C的方程—+y2=1并整理得(1+4^2)%2-4=0.「4"•:兀[+兀2二4心心-]+缶于是
50、MN1=J十k2）（x、-x2）2=J（1+p2）［（“+勺）2_4兀］心］4J1+R2J1+4/乂点A
51、到直线/的距离〃故△呎的面积S弓咖八晋从而2=(2—1)2二］4k~1+4/-1+4/①当&=0时，5^=1得S=1②当Q0时，Gvl得Svl③当£<0时，S?=l+——51+丄=2得S
