参数方程及其应

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1、第5讲---参数方程及其应用一、参数方程的复习二、参数方程的应用1学习目标1、掌握直线、圆和椭圆的参数方程，理解弹道曲线、双曲线和抛物线的参数方程；2、较熟练地化一般参数方程为普通方程；也能对给定的参数，化一些简单的普通方程为参数方程；3、理解圆的渐开线和摆线及其参数方程。2重点难点摆线及其参数方程圆的渐开线摆线及其参数方程圆的渐开线3一、参数方程的复习参数方程是曲线方程的一种形式，有些曲线的运动规律难于用x、y的方程直接表示，通过引进第三个变量（假如用t表示），求出对于第三个变量的函数表达式①从而间接地求得x、y之间的关系，找

2、出曲线运动的规律.我们通常把方程①叫做参数方程，相对于参数方程来说，前面学过的直接用x、y的表示曲线的方程，叫做曲线的普通方程.4引进参数以后，不仅可以求出某些曲线的方程，而且在很多情况下，使曲线方程的形式简单，，便于研究其性质.因此参数方程是解析几何的重要内容之一，它既是进一步学习数学的基础，又是解决科学研究和生产实践的有效工具.在理解参数方程的概念时，要注意以下几点：(1)在建立参数方程时，要先明确谁是参数;(2)注意参数的取值范围;(3)曲线的参数方程并不唯一;5一般方程参数方程（t为参数）直线椭圆双曲线抛物线以前我们曾学

3、过一些参数方程的基本知识，如6例1：求下列参数方程所表示的曲线：解：（1）由三角函数公式可求得代入另一式化简得又因为，所以故该参数方程表示的是一条线段，其方程为：7例1：求下列参数方程所表示的曲线：解：（2）观察该参数方程的特征可知所以即有化简得：即该参数方程表示的是一条双曲线，其方程为：8思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件:线段OA的长等于弧MA的长,即OA=rφ我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆

4、线，又叫旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABM二、参数方程的应用1.摆线摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。9xyODAEBMC摆线的参数方程OABM根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与x轴相切于点A，圆心在点B。从点M分别作AB、x轴的垂线，垂足分别是C、D。设点M的坐标为(x,y)，取φ为参数，根据点M满足的几何条件，有

5、10PAOB所以摆线的参数方程为：（其中φ为参数）每一拱摆线的拱高为2r，拱宽为拱长为8r，面积为11摆线的应用由于采用摆线作为齿廓线的齿轮，具有传动精度好、耐磨损等优点，所以在精密度要求较高的钟表工业和仪表工业中，广泛采用摆线作为齿轮的齿廓线。12例2：已知摆线的生成圆直径为80mm，写出摆线的参数方程，并求出其一拱的拱高和拱宽.解：由于摆线的生成圆直径为80mm，所以生成圆的半径为40mm，摆线的参数方程为（θ为参数）其一拱的拱高为80mm，拱宽为80mm，约251.3mm.132.圆的渐开线及其参数方程定义：把一条没有弹性

6、的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？14我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。设开始时绳子外端(笔尖)位于点A，当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角θ的一段弧展开后成为切线,所以切线BM的长就是弧的长。这就是动点（笔尖）满足的几何条件。15渐开线的参数方程以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系。设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。显

7、然，点M由角θ唯一确定。过点M作轴，交x轴于点E，过点B作，垂足为点D，交y轴于点C，则取θ为参数，则16（θ为参数）这就是圆的渐开线的参数方程。渐开线的应用：在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。17注意：1.发生线BP沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。3.渐开线的形状取决于基圆的大小4.基圆内无渐开线18例3:有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径

8、为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：(θ为参数）19小结你能总结一下本讲的主要内容吗？201．已知一齿轮的齿廓线为圆的渐开线，它的基圆直径为300mm,写出此齿廓线所在