一元二次方程学习要点.doc

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1、“一元二次方程”学习要点一、本章知识结构1、知识结构梳理一元二次方程的定义二元二次方程直接开方法配方法一元二次方程的解法公式法一元二次方程实际问题因式分解法根的判别式一元二次方程的应用根与系数的关系二次三项式的因式分解可化为一元二次方程的方程列方程解应用题可化为一元二次方程的分式方程及应用2、定理公式总结(1)一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac。*原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社,2004年5月。(4)一元二次方程的根

2、的判别式定理：△＞0方程有两个不相等的实数根；△＝0方程有两个相等的实数根；△＜0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。(5)一元二次方程根与系数的关系定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=推论1：如果方程x2+px+q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q.推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-(x1+x2)x+x1x2=0(6)二次三项式因式分解公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根。(7)

3、求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：①x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2；②(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2二、数学规律总结1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。其中公式法对于

4、任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方

5、程外），但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。3、二次三项式ax2+bx+c在实数范围能够分解的条件b2-4ac≥04、一元二次方程ax2+bx+c=0有实根的条件b2-4ac≥0三、思想方法总结1、转化思想在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问

6、题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。具体转化过程及转化方法如下图所示：一元一次方程整式方程因式分解降次一元二次方程去分母整式化整式方程代入法消元“II—I”型二元二次方程组因式分解降次“II—II”型转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。2、方程思想在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。方程思想在本

7、章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。3、公式化与分类讨论的思想在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出