探讨一元二次方程中的五要点.doc

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1、探讨一元二次方程中的五要点摘要：一元二次方程是初中数学课程的重要内容，也是中考的热点之一，本文梳理总结了一元二次方程五方面的知识点，并佐以实例，对学生系统地学习一元二次方程及相关知识有很大的帮助作用，也可供教师教学参考.关键词：一元二次方程；概念理解；教学设计作者简介：马宏伟(1978-),男，甘肃岷县人，专科，中学一级教师，主要从事初屮数学教法研究.一、一个概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.概念的关键是“一元”、“二次”、“整式”方程及二次项系数不能为零，它的一般形式；

2、力ax2+bx+c=0(a与b和c为己知数，且a矣0).二、二条性质1、如果a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0(a^O)必有一根为1，反过来也成立；2、若a_b+c=O，则方程ax2+bx+c=0(a#=0)必有一根为-1，反过来也成立.三、三种不完全形式1、ax2+bx=0(c=0);2、ax2+c=0(b=0);3、ax2=0(b和c同时为0)•四、四种基木解法1、直接开平方法；2、配方法；3、因式分解法；4、求根公式法.五、五条注意事项1.判断一个方程是否为一元二次方程，必须先将其化简整理成为一般形式，再

3、根据概念作出肯定或否定的判断.例1下列方程屮是一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0B.2x2+xy+x+l=0C.6x2-2x+l=（2x~l）（3x+2）D.（x+1）22:2x3答：应选（D）解析备选答案A中无a#0的限制条件；B中含有两个未知数；C容易误认为是一元二次方程，但展幵整理后二次项将消去，故正确答案为（D）.2.切勿忽视二次项系数不为零的隐含条件例2方程（m+2）xm+3mx+l=0是关于x的一元二次方程，则（）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m矣±2答：应选（B）解析由题意，得m=2m+

4、2乒0联立解得m=2.本题易错选为A,这是只考虑了m=2而忽略了隐含条件m+2#0所造成的.例3—元二次方程U-k）x2-2x-l=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>2B.k〈2且k关1C.k2且k关1答：应选(B)解析一般情况下仅考虑八=(-2)2+4(1-k)〉0k〈2容易忽视1-k乒0,从而造成漏解，应综合求解即得k〈2且k笑11.若说一个方程有实数根，不能马上就想到一元二次方程，进而去考虑根的判别式，还应同时“兼顾”一元一次方程；或只想到A=0,亦应充分考虑到“两个实数根”有可能相等，也可能不

5、等.例4k为何值时，关于x的方程(k-1)x2-(2k+l)+k+l=0有实数根？解析此方程没有说明一定是一元二次方程，所以要分一次方程和二次方程?芍智榭隼纯疾?.(1)当k_l二0即k=l时，原方程化为-3x+2=0，/.x=23(2)k-1关0即k乒1时，由△彡0知(2k+l)2-4(k-1)(k+1)彡0,即k彡-54，/.k彡-54且k关1综合(1)(2)可知，当k彡-54吋，方程冇实数根.例5关于x的一元二次方程(ni-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是()A.m>0B.m^OC.m〉0

6、且m^lD.mX)且m矣1答:应选(D)解析由△彡0且m-l7^0得出结论1.运用方程的根的定义解题时，应周密思考，否则极易造成漏解例6已知实数a、P满足条件a2-7a+2=0，P2-73+2=0，求Pa+a3的值.解析•••a2-7a+2=0，P2-7P+2:0,•••a、p是一元二次方程x2-7x+2=0的两实根由根与系数的关系，得a+fi=7,a3=2(1)当时，Pa+a0=2(这一点容易疏忽)(2)a=J3时，3a+a3=a2+32a{3=(a+p)2~2a3a3=72_2X22=4522.解含有字母系数的一元

7、二次方程，需分类讨论例7解关于x的方程(a_l)x2_2ax+a=0解析(1)当a-1=0，即a=l时，得-2x+l=0...x=-12(2)当a-l#0，即a^l时，A=4a~4(a~l)=4a①若a〈0,则△〈()，方程无实数根；②若a=0,则△=(),xl=x2=0；③若a〉0，则△〉()，得xl=a+aa-1,x2=a-aa~l综上得：当a=l时，x=-12;当a0时且a矣1时,xl=a+aa_l，x2=a_aa-l.参考文献：[1]吴健.阅读理解专题讲解[J].数理化学习，2015(2)：5-6