二次量子化之基础理论

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1、第三章二次量子化之基礎理論古典粒子與波動現象離散振子系統(粒子性)LagrangianEuler運動方程.......mK固定邊界連續振子系統(波動性)(L=Na固定)，，Euler運動方程波速Lagrangian因1.2.5.4.3.6.7.8.9.波與粒子運動示意圖量子波動與粒子模型Hamiltonian簡諧振子的波動模型簡諧振之粒子模型(二次量子化的理想模式)Hamiltonian:產生[raising()]和湮滅[lowering()]算符and簡諧振子之量子狀態from1海森堡表象(Heisenbergrepresentation)

2、istimedevelopmentoperatorHamiltonian:,:電場then,let3-2.受固定電場強度作用下之簡諧振子模型個等同粒子的Hamiltonian個等同粒子的波函數位置自旋置換算符：置換群：個客體之個置換算符構成之群因故偶元奇元群元素滿足＜置換算符及置換群＞123N置換算符數目1‧‧‧‧N2‧‧‧N-13‧‧N-2N‧1=N!所有可能置換算符數目置換算符之特性且矩陣元在　　座標之表現矩陣元在　　　座標之表現為對稱算符為H之eigenfunction亦為H之eigenfunction定義：轉置置換算符P為ㄠ正算符(u

3、nitary)所有粒子均受相同之物理作用所有物理算符對粒子變換具對稱性由定義兩類波函數對稱（波色子）反稱（費米子）偶元-1奇元多粒子系統之完全對稱及反稱態多粒子各自之單粒子狀態單一粒子狀態（正規化集合）：狀態函數多粒子系統之一量子狀態向量直積粒子編碼狀態編碼：：：完備基向量定義：＋對稱態－反稱態i.e若（粒子處於相同態）故反稱態每一態只允許佔有一粒子則‧對稱態每一態可允許佔有無窮多粒子‧N!symmetrizedstatesymmetrizedbasisstate即每一量子態可允許佔有無窮多粒子‧若假設第一態有個粒子，第二態有個粒子故對一確定

4、之分佈其所有相異態間交換正規化對稱完全基每一置換算符的等價類（重複數）之個數正規化因子‧‧的置換算符總數為123N123N︷︷｛｛｛表不同態間之置換等價類數正規化反稱完備基粒子數表象（FOCK表象）編碼全同粒子沒有效率確認不同量子態上的粒子數Fermi子｛1實態0空態Bose子任意數，‧玻色子(Bosons)產生算符共軛算符因故Ⅱ湮滅算符證明：｛Bose互易關係，，證明：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅰ）（Ⅲ）對對1基態(Groundstate)：真空態(Vacaumstate)單粒子態(Single-particlestate)雙粒子態(two-pa

5、rticlestate)多粒子態(many-particlestate)正規化粒子數算符(Theparticle-NumberOperutor)無相互作用之粒子單一粒之Hamiltonian的特徵值類似於簡諧振動之系統廣義多粒子算符(generalmany-particleOperutors)單粒子算符系統證明次次雙粒子算符系統當中證明費米子（Fermions）(Slater行列式)N粒子N能階態Ⅱ定義費米子反稱互易關係（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）證明（Ⅰ）設設（Ⅲ）設1設粒子數算符（particleoperutors）單粒子算符設雙粒子算符0＋：B－

6、:F（廣義公式）場算符（Fieldoperators）（單粒子波函數）位置特徵向量在位置特徵態產生或增減一粒子動能Kineticenergy單粒子勢能Single-particlepotential雙粒子相互作用勢能Hamiltanian粒子數密度（particle-numberdensity）總粒子數算符（Total-particleoperator）場方程（Field-Equatioin）Heisnberg表象恆等式＝動能+位能+相互作用項FB動能:位能:相互作用項（場方程）（連續方程）當中粒子流密度算符（current-densityo

7、perator）動量表象：動量特徵函數（momentumeigenfunction），，動能（Kineticenergy）單粒子勢能（之Fourier轉換為）相互作用勢能Hamiltoniana)相互作用過程b)雙散射過程始終密度算符的Fourier轉換含自旋系統：（為方向之自旋分置）（和自旋無交互作用系統之H）‧自旋之費米子系統自旋密度算符pauli矩陣之元素‧互易關係‧運動方程