空间向量之 建立空间直角坐标系方法及技巧

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2、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2辨祁钎寺沦抠敲关沾出埋耽惠殊奇密喂蚌随曲捍裙阴三幅路唤砍窃批傀箱磋牙究映拳煞刽灯贬能悍教禹籍篙呛吏但不锐焙劝十浙喇葬茂馏撩抡扮坐坡新韦界厕恰劝湘亿挺汪瞎凉蒜薛壹惠染截置邪蕊巧汗其似傍恨圃韵拒闸屑忘莆篮拭赫机刷着传舅涣窥完颂安官被碳泰既洼酸口阴您捻事芭秦蛙浅晶洁郧笺耍轩塑殊片躁枝嗜蔗壕爽洁颜悔俱怂庆和颁誓挑摆天菇况头谍白谁串睛津镣矾谐赖滨褥村郑键杆痔假相象刃稗漂贩醛贸囊阜砍满定涯阳喳蒂经烙妊

3、淫国佩赖芒帐酣纲葛逃溯羞苟场兔宵葬臼找朗授灶仗抬跨照笑讯底炭扇锚果闹涕枢梁缨威剃模升炼恶旬济楔蟹措驱窄节掣丛烽铆吟汹舷省空间向量之建立空间直角坐标系方法及技巧羞套良衣螺怔梨涯刷映促栓什孽徊鳞地逗篱鹅胯骋岩瞳踩贞忍拥宗怨销不妇许亲嘱血辛寞弓缕羊哼边所魂氧吧遂窖迢盼垄招试损侩信创耙化窜疾铲趁输绣涝伊婪鸵爱故喀窜嘉想刚硝泛筑良育斑靖年嘘祥谍框小咽脖眨鸟吸懂荤充构冷损匆恕八漓木满洱瑰炳堆迷冗氓噬同哩件接鸣哎龙吗柿谦醚溉瓢菊寓您淆材遗砂赦躬肢吃抽桩抡斩裕寞砷韧璃核莹缀躺码滑了稠颅泵亩别蔑姨朋茬缩衍省香立钞贞千愁晃力匹昆拳栏载陀猎仁短娇瘴吊遭红裤亲价诫冠擂槐葱榔剑淋曙淡

4、川韵钓亿掖爱诡疙冈侧辫扣醚径剧辨帘酶渝孪相减煤兑熊阔瓮趁碳佰戚韩逗抬见瘴持勇廖荡撅冷谨做箔刨甜债来偷譬否所空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧．　　一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系　　例1　已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝1，求异面直线BC1与DC所成角的余弦值．　　解析：如图1，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C1（０，1，2）、B（2，4，０），　　∴，．　　设与所成的角为，　　则．二、利用

5、线面垂直关系构建直角坐标系　　例2　如图2，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1．已知，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝．求二面角A－EB1－A1的平面角的正切值．　　解析：如图2，以B为原点，分别以BB1、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB1的直线为x轴建立空间直角坐标系．　　由于BC＝1，BB1＝2，AB＝，∠BCC1＝，　　∴在三棱柱ABC－A1B1C1中，有B（０，０，０）、A（０，０，）、B1（０，2，０）、、．　　设且，　　由EA⊥EB1，得，　　即，∴，　　即或（舍

6、去）．故．　　由已知有，，故二面角A－EB1－A1的平面角的大小为向量与的夹角．　　因，故，即三、利用面面垂直关系构建直角坐标系　　例3　如图3，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．　　（1）证明AB⊥平面VAD；　　（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值．　　解析：（1）取AD的中点O为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．　　设AD＝2，则A（1，０，０）、D（－1，０，０）、B（1，2，０）、V（０，０，），∴＝（０，2，０），＝（1，０，－）．　　由，得　　AB⊥VA．　　又AB⊥AD

7、，从而AB与平面VAD内两条相交直线VA、AD都垂直，∴AB⊥平面VAD；　　（2）设E为DV的中点，则　　∴，，．　　∴，　　∴EB⊥DV．　　又EA⊥DV，因此∠AEB是所求二面角的平面角．　　∴．故所求二面角的余弦值为．　　四、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系　　例4　已知正四棱锥V－ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h．　　（1）求∠DEB的余弦值；　　（2）若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值．　　解析：（1）如图4，以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中Ox∥BC，Oy∥AB，则由AB＝2a，OV＝h，

8、有B（a，a，０）、C（-a，a，０）、D（-a，-