平面向量的数量积及运算律.doc

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1、平面向量的数量积及运算律故城县教文体局教研室于秀英教学目标知识目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义。2、掌握平面向量的数量积的运算律。3、了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度问题。能力目标：1、通过问题的提出与解决培养学生探索问题，解决问题的能力。2、利用图形的观察、分析，发展学生的“数形结合”能力。3、思考题的加入培养学生的类比能力。情感目标：通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知善于合作交流的学习品质。引导学生从生活中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和应用意识，提高学习数学的兴趣；让学生亲临数学研究的全过程，体验创造的

2、激情，享受成功的喜悦，感受数学的魅力。教学策略1、教学方法：本节课采用启发式教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神。2、教学手段：利用多媒体优良的传播功能，大容量的信息的呈现和生动形象的演示对提高学生学习兴趣，激活学生思维有积极作用；利用黑板适当的板书弥补多媒体技术在即时信息，反馈和信息的储存方面的不足。3、学法指导：根据高一学生已具备了一定分析问题、解决问题的能力和积极参与意识，自主探索意识，由教材内容的特

3、点及学生的知识、能力、情感等因素定为问题探究式学法。教学资源多媒体教学重点平面向量的数量积定义教学难点平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程一、设置情景，导入新课在物理中，我们知道一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。因此，力以及物体在力的方向发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素。F1．如果力的方向与物体的运动方向一致，功就等于力的大小与位移大小的乘积。qsFW=

4、F

5、×

6、s

7、。2．当力的方向与物体的运动方向成某一角度q时，W=

8、F

9、×

10、s

11、cosq，其中q是F与s的夹角。所以我们可

12、这样说：若把功W看作是两个向量的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的大小有关，而且还与这两个向量的夹角有关。什么是两个向量的夹角呢？我们以下来给出定义。θqsF二、讲解新课（一）向量夹角的概念：已知两个非零向量和,作则∠AOB=θ（0°≤q≤180°）叫做向量与的夹角。注意点：1、如果力的方向反向，夹角又是什么？2、夹角是指同一起点出发的两条有向线段的夹角。练习1、指出两个向量的夹角一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。功的表达式是W=

13、F

14、×

15、s

16、cosq，即第一个向量的长度、第一个向量的

17、长度和两个向量的夹角的余弦这三者的乘积。数学上把两个向量间的这种运算叫做平面向量的数量积。（二）平面向量的数量积1、定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为q，我们把数量叫做和的数量积（内积），记作，即。规定：与任何向量的数量积为0，即。注意点：（1）两个向量数量积的结果是一个实数，而两个向量的加或减仍然是一个向量。（2）强调0是实数0而不是向量。例1.已知向量与向量的夹角为，分别在下列条件下，求练习：在平行四边形ABCD中，已知AB=4,AD=3,求：注意点：进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。（三）投影的概念及向量的

18、数量积的几何意义1．“投影”的概念：作图AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq投影定义：

19、

20、cosq叫做向量在方向上的投影。注意：①投影也是一个数量，不是向量。②当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为

21、

22、；当q=180°时投影为-

23、

24、。2．向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影

25、

26、cosq的乘积；也等于的长度与在方向上投影

27、

28、cosq的乘积。练习：已知向量的模为8，是单位向量，与的夹角为求在方向上的投影。（四）两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是

29、与同向的单位向量，、的夹角为q。则①×=×=

30、

31、cosq；②^Û×=0；③当与同向时，×=

32、

33、

34、

35、；当与反向时，×=-

36、

37、

38、

39、；特别地×=

40、

41、2或；④cosq=；⑤

42、×

43、≤

44、

45、

46、

47、例2判断正误，并简要说明理由①·＝；②0·＝０；③－＝；④｜·｜＝｜｜｜｜；⑤若≠，则对任一非零有·≠０；⑥·＝０，则与中至少有一个为；⑦与是两个单位向量，则２＝２解：上述7个命题中只有③⑦正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有·＝０；对于②：应有０·＝；对于④：由数量积定义有｜·｜＝｜｜·｜｜·｜cosθ｜≤｜｜｜｜，这里θ是与的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜·｜

48、＝｜｜·｜｜；对于⑤：若非零向量、垂直，有·＝０；对于⑥：由·＝０可知⊥可以都非