关于线性分式 = 的探讨 - 成长博客

《关于线性分式 = 的探讨 - 成长博客》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、关于线性分式=的探讨什么样的函数自身迭代有限次为恒等变换呢？下面就多项式函数和线性分式函数来考虑，记若g(x)为大于一次的多项式函数，显然对于任意的m∈N，≠；若g(x)=a，（常数），同样对于任意的m∈N，≠，所以g(x)只可能是线性的，即g(x)=ax+b(a≠0)，而g(x)=ax+b又包含于g(x)=(ax+b)/(cx+d)之中，(ad-bc≠0)因此下面直接讨论g(x)=(ax+b)/(cx+d)(ad-bc≠0)的有限阶问题（用近世代数的说法，下同），并用矩阵表示来研究自身迭代的方法。定义1设

2、g(x)=(ax+b)/(cx+d)，其中ad-bc≠0，称g(x)为非奇线性分式函数。定义2非奇线性分式函数g(x)=(ax+b)/(cx+d)，如果ad-bc=±1，称g(x)为标准型线性分式函数。定义3记g(x)==A=,其中A=。引理1若g1(x)=,其中，（i=1,2,…n）,则…(x)=(…引理1，由复合函数定义及矩阵乘法，易得：引理2若则由引理1，易证引理2。引理3任意的非奇线性分式函数g(x)=都可以化为标准型线性分式函数，并且有。事实上，只要把g(x)的分子、分母同时除以即可。引理4A=是

3、实矩阵，并且ad-bc=1.（i）如果

4、Tr（A）

5、＞2，那么存在可逆实矩阵T，使得，这里0，1；（ii）如果那么存在可逆矩阵T,使得或。引理5如果A、B为标准型线性分式函数矩阵，则AB也是标准型线性分式函数矩阵；又若A，则A=±I。定理1标准型线性分式函数有的充要条件是矩阵A=的特征根是=±1的两共轭复根，或者当n为偶数时两根可取±1，或者两根取±1重根时A=±I。证必要性，设λ1，λ2为A的两特征根。∵。∴∴λ1λ2是xn=±1的两根。又∵A为实矩阵，∴两根为xn=±1的共轭复根，或者λ1=λ2=1，或

6、者n为偶数时λ1=1，λ2=-1或λ1=λ2=-1，当两根为重根时由引理4，易证必须g(x)=x。充分性由矩阵理论易得，证毕。定理2设标准型线性分式g(x)=(ax+b)/(cx+d)，则=的充要条件是：g(x)=x或当ad-bc=1时，a+b=2cos的形式(k=1,2,…，n-1)，当ad-bc=-1时，n为偶数且a+d=0。定理2还可以写成定理标准型线性分式函数g(x)=(ax+b)/(cx+d)为有限阶的充要条件是g(x)=x或存在n,k∈N，使得a+b=2cos(k=1,2,…，n-1)。定理3设

7、gn(x)=x(n≥2)，则。例：设n为质数，f(x)=，在其定义域内是否经过有限次自身迭代为恒等变换。解：由定理2知，fn(x)=x