导数是微分学的核心概念是研究函数

《导数是微分学的核心概念是研究函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、导数是微分学的核心概念,是研究函数§1导数的概念一、导数的概念化率”,就离不开导数.三、导数的几何意义二、导函数态的有力工具.无论何种学科,只要涉及“变与自变量关系的产物,又是深刻研究函数性一、导数的概念一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线别在研究瞬时速度和曲线的牛顿(1642－1727,英国)两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的.下面是微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是1.瞬时速度设一质点作直线运动,质点的位置s是当t越来越接近t0时，平均

2、速度就越来越接近t0时间t的函数,即其运动规律是则在某(1)时刻的瞬时速度.严格地说,当极限时刻t0及邻近时刻t之间的平均速度是2.切线的斜率如图所示,存在时,这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.其上一点P(x0,y0)处的切线点击上图动画演示点Q,作曲线的割线PQ，这PT.为此我们在P的邻近取一需要寻找曲线y=f(x)在条割线的斜率为答:它就是曲线在点P的切线PT的斜率.的极限若存在，则这个极限会是什么呢？设想一下,当动点Q沿此曲线无限接近点P时，(2)上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x

3、0处关于x的瞬时变化率(或简称变化率).均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平Dy=f(x)–f(x0)与自变量增量Dx=x–xo之比一类型的数学问题：求函数f在点x0处的增量定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果极限存在,则称函数f在点x0可导,该极限称为f在如果令Dx=x–x0,Dy=f(x0+Dx)–f(x0),导数就x0的导数，记作可以写成这说明导数是函数增量Dy与自变量增量Dx之比例1求函数y=x3在x=1处的导数，并求该曲线在

4、点P(1,1)的切线方程.解的极限,即就是f(x)关于x在x0处的变化点x0不可导.率.如果(3)或(4)式的极限不存在,则称在由此可知曲线y=x3在点P(1,1)的切线斜率为所以于是所求切线方程为即例2常量函数f(x)=c在任何一点x的导数都为例3证明函数f(x)=

5、x

6、在x=0处不可导.证因为时它的极限不存在,所以f(x)在x=0当零.这是因为Dy0，所以处不可导.例4证明函数在x=0处不可导.不存在极限,所以f在x=0处不可导.证因为当时,(5)式称为f(x)在点x0的有限增量公式,这个公有限

7、增量公式设f(x)在点x0可导，则这样,函数f(x)的增量可以写成根据有限增量公式即可得到下面定理.时的无穷小量，于是eDx=o(Dx).是当式对Dx=0仍然成立.定理5.1如果函数f在点x0可导,则f在点x0连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中D(x)是熟知的狄利克雷函数.例5证明函数仅在x=0处可导,处连续，却不可导.导的必要条件.如例3、例4中的函数均在x=0不连续,由定理5.1,f(x)在点x0不可导.由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样,所以有当x0=0时,因为证当　　

8、　时,用归结原理容易证明f(x)在点x0可以定义左、右导数(单侧导数).存在，则称该极限为f(x)在点x0的右导数,记作类似地可以定义左导数,合起来即为:上有定义，如果右极限定义2设函数y=f(x)在点　的某个右邻域右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2如果函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有在讨论分段函数在分段点上的可导性时,本结论定义，则存在的充要条件是都存在，且很有用处，请看下面例题.类比左、右极限与极限的关系，我们有：例6设试讨论f(x)在x=0处的左、右导数和导数.解容易看到f(x)在x

9、=0处连续.又因所以故f(x)在x=0处不可导.二、导函数如果函数f在区间I上的每一点都可导(对于区间(7)即导函数，简称导数,记作定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的则称f为区间I上的可导函数.此时,对I上的任端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数),仅为一个记号，学了微分之后就会知注这里意一点x都有f的一个导数与之对应,这就道，这个记号实质是一个“微分的商”.例7求函数y=xn的导数，n为正整数.解由于相应地，也可表示为因此例8证明:我们只证明(i)的第二式和(iii).证(i)由于上的

10、连续函数，所以(iii)由于因此特别有三、导数的几何意义切线的方程是记a为切线与x轴正向的夹角，则f¢(x0)=tana.(8)在用几何问题引出导数概念时,已知是曲线处切线的斜率.在点所以该由此可知,f¢(x0)>0说明a是锐角;f¢(x0)<0说明a是钝角;点击上图动画演示则曲线y=f(x)在点P的切线垂直于x轴，此时符合上述特征,故在该点11特别要注意，如果在点连续,且如右图所示,曲为在点(1,0)处线处的切线为y=f(x)在点P的切线方程例9求曲线